Dualität von Lp-Räumen

Unter Dualität von L^p-Räumen, kurz L^p-Dualität, versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis, die sich mit den Dualräumen von L^p-Räumen beschäftigen, wobei $1\le p < \infty$ eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von L^p-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich L^q-Räume, wobei die Kehrwerte von p und q in der Summe 1 ergeben, das heißt, in einprägsamer Form gilt $(L^p)\,' \cong L^q$.

Der Fall p > 1

Es sei q der sogenannte zu p konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl $1<q<\infty$, für die $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ gilt. Dies ist äquivalent mit $q=\tfrac{p}{p-1}$. Ist weiter $(X,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum, dann kann man die Banachräume $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ und $L^q(X,\mathcal{A},\mu)$ über dem Körper $\mathbb{K}$ bilden, wobei $\mathbb{K}$ für $\R$ oder $\C$ steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibwiese über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden. Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

$\left| \int_X f(x)g(x)\, \mathrm{d}\mu(x) \right| \le \|f\|_p \|g\|_q$ für alle $f \in L^p(X,\mathcal{A},\mu),\, g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu)$,

wobei $\|\cdot\|_p$ die Norm auf dem L^p-Raum bezeichnet und entsprechend $\|\cdot\|_q$. Diese Abschätzung zeigt, dass

$T_g\colon L^p(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow \mathbb{K},\quad f\mapsto \int_X fg\, \mathrm{d}\mu$

ein beschränktes lineares Funktional auf $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$, also ein Element des Dualraums $L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,'$ ist, mit $\|T_g\| \le \|g\|_q$. Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz ^[1][2]:

Es seien $(X,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum und $1<p<\infty$. Dann ist die Abbildung

$T: L^q(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg\, \mathrm{d}\mu$

ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz $L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)$ schreibt.

Da p und q ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort

$L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,'' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^p(X,\mathcal{A},\mu)$.

Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von $L^p(X,\mathcal{A},\mu)$ in seinen Bidualraum handelt. Die L^p-Räume sind also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall L²([0,1]) geht auf M. Fréchet zurück^[3]. Das Einheitsintervall steht hier natürlich für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Satz von Fréchet-Riesz oder Rieszscher Darstellungssatz bekannt. F. Riesz hat drei Jahre später den Fall L^p[0,1] für $1<p<\infty$ bewiesen ^[4]. Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert ^[5]. Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt ^[6].

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume $\ell^p$, die man erhält, wenn man $X=\N$ und für μ das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus $\ell^p$ werden als Folgen (a_n)_n geschrieben, wobei eine solche Folge natürlich für die L^p-Funktion $\N\rightarrow \mathbb{K},\,n\mapsto a_n$ steht. Für die Dualität zwischen $\ell^p$ und $\ell^q$ erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:

$T_b((a_n)_n) = \sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ für alle $(a_n)_n \in \ell^p$ und $b=(b_n)_n \in \ell^q$.

Diese Aussage kann natürlich auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Der Fall p = 1

Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L¹-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man $q=\infty$ nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

$L^1([0,1])\,'\cong L^\infty([0,1])$

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator T analogen Operator vermittelt wird.^[7]. Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen ^[8][9]:

Es sei $(X,\mathcal{A},\mu)$ ein σ-endlicher Maßraum. Dann ist die Abbildung

$T: L^\infty(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^1(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg \mathrm{d}\mu$

ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der σ-Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf $X=\R$ die σ-Algebra $\mathcal{A}$ derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß μ das Zählmaß, so ist $L^1(\R,\mathcal{A},\mu)$ der Raum aller Funktionen $f\colon\R\rightarrow \mathbb{K}$, die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die $\textstyle\sum_{x\in \R}|f(x)| < \infty$ gilt. Offenbar ist durch $\textstyle f\mapsto \sum_{x \ge 0}f(x)$ ein beschränktes lineares Funktional auf $L^1(\R,\mathcal{A},\mu)$ definiert. Wäre dieses von der Form T_g für ein $g\in L^\infty(\R,\mathcal{A},\mu)$, so müsste g konstant gleich 1 auf $[0,\infty)$ und konstant gleich 0 auf $(-\infty,0)$ sein. Eine solche Funktion ist aber nicht $\mathcal{A}$-messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht-σ-endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigendem Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtig^[10]:

Es seien G eine lokalkompakte Gruppe, $\mathcal{B}$ die Borelsche σ-Algebra auf G und μ ein reguläres Borelmaß auf G. Dann ist

$T\colon L^\infty(G,\mathcal{B},\mu) \rightarrow L^1(G,\mathcal{B},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg\, \mathrm{d}\mu$

ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß μ regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• $\mu(K) < \infty$ für alle kompakten Teilmengen $K\subset G$,
• $\mu(U) = \sup\{\mu(K);\, K\subset U, K \mbox{ kompakt} \}$ für alle offenen Teilmengen $U\subset G$,
• $\mu(B) = \inf \{\mu(U);\, B\subset U \subset G, U \mbox{ offen}\}$ für alle Borelmengen $B\in \mathcal{B}$.

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf G, das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra L¹(G) auch für nicht-σ-endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Banachraum-wertige L^p-Funktionen

Ist neben dem Maßraum $(X,\mathcal{A},\mu)$ noch ein Banachraum E gegeben, so kann man den Raum $L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)$ aller $\mathcal{A}$-messbaren Funktionen $f\colon X\rightarrow E$, für die das Integral $\textstyle\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)$ endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

$\|f\|_p := \left(\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}$

macht $L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)$ zu einem Banachraum. Sind nun $f\in L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)$ und $g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')$, so kann man

$\int_X gf\, \mathrm{d}\mu = \int_X \underbrace{g(x)}_{\in E\,'} (\underbrace{f(x)}_{\in E})\, \mathrm{d}\mu(x)$

bilden, und es gilt:

$\left|\int_X gf\, \mathrm{d}\mu\right| \le \int_X |g(x)(f(x))|\, \mathrm{d}\mu(x) \le \int_X \|g(x)\|_q\|f(x)\|_p\, \mathrm{d}\mu(x) \le \|g\|_q\|f\|_p$.

Man erhält daher wieder eine Abbildung

$T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,'$

und man kann folgenden Satz zeigen^[11]:

Sind $(X,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum, E ein separabler, reflexiver Banachraum und $1<p<\infty$ sowie q der zu p konjugierte Exponent, so ist

$T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,',\, g\mapsto T_g,\, T_g(f) = \int_X gf\, \mathrm{d}\mu$

ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel

$L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')$.

Gewichtete l^p-Räume

Es sei eine Folge $w=(w_n)_{n\in\N}$ positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete $\ell^p$-Raum ist der Folgenraum

$\ell^p(w) := \left\{(a_n)_n \left|\,\textstyle \sum\limits_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p < \infty \right.\right\}$

mit der Norm

$\|(a_n)_n\|_{p,w} := \left(\sum_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p\right)^{\frac{1}{p}}$.

Dies ist nichts anderes als der Raum $L^p(\N,\mathcal{P}(\N),\mu_w)$, wobei das Maß μ_w durch μ_w({n}) = w_n definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die L^p-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

$T\colon \ell^q(w) \rightarrow \ell^p(w)\,',\, b= (b_n)_n \mapsto T_b, \quad T_b((a_n)_n) := \sum_{n\in\N}a_n b_n w_n^p$.

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck $\textstyle\sum_{n\in\N}a_n b_n$ gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren $w_n^p$ vermeiden. Dazu muss man von der Folge $(b_n)_n\in \ell^q(w)$ zur Folge $(b_n w_n^p)_n$ übergehen. Da p − pq = − q, gilt

$\|(b_n)_n\|^q_{q,w} = \sum_{n\in \N}|b_n|^q w_n^p = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{p-pq} = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{-q} = \|(b_n w_n^p)_n\|^q_{q,\frac{1}{w}}$,

wobei $\tfrac{1}{w}$ für die aus den Kehrwerten der w_n gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus

$\ell^q(w)\rightarrow \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right), (b_n)_n \mapsto (b_n w_n^p)_n$.

Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus T, so gelangt man zu^[12]:

Es seien (w_n)_n eine Folge von Gewichten, $1\le p<\infty$ und q der zu p konjugierte Exponent. Dann ist

$S\colon \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right)\rightarrow \ell^p(w)\,',\ b=(b_n)_n\mapsto S_b,\ S_b((a_n)_n) = \sum_{n\in\N}a_n b_n$

ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

$\ell^p(w)\,' \cong \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right)$

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über L^p-Dualität ist, außer natürlich, wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

Einzelnachweise

1. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
2. ↑ Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1
3. ↑ M. Fréchet: Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares, C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414-1416
4. ↑ F. Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449-497
5. ↑ O. M. Nikodým :Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130-141
6. ↑ E. J. McShane: Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408
7. ↑ H. Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186-221
8. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
9. ↑ Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 5
10. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 9.4.8
11. ↑ R. E. Edwards: Functional Analysis: Theory And Applications, Dover Publications, ISBN 0-4866-8143-2, 8.20
12. ↑ K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1, §5.4