Isomorphismus


Isomorphismus

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von griechisch ἴσο iso- gleich und griechisch μορφή morph Gestalt, Form) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Algebraische Strukturen

Eine Funktion f zwischen zwei algebraischen Strukturen heißt Isomorphismus, wenn:

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Die Aussage „X und Y sind isomorph“ wird üblicherweise durch \simeq oder durch X\cong Y notiert.

Definition in der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie wird die oben angegebene Definition noch verallgemeinert. Ein Morphismus f\colon X\to Y heißt Isomorphismus, wenn er ein beidseitiges Inverses g\colon Y\to X besitzt, das heißt

f\circ g=\operatorname{id}_Y und g\circ f=\operatorname{id}_X.

Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise Homöomorphismen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen oder Homotopieäquivalenzen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den Homotopieklassen von Abbildungen als Morphismen.

Bedeutung

Oft kann man bestimmte Strukturen nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen, wie z.B.

Isomorphismen werden in der Mathematik gern ausgenutzt, um einen leichteren Rechenweg zu beschreiten. Durch die oben genannten Definitionen (bijektiv) ist dies möglich.

Beispiele: Laplace-Transformation; s-Transformation

In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass Funktoren Isomorphismen erhalten, d. h. ist f\colon X\to Y ein Isomorphismus in einer Kategorie C und F\colon C\to D ein Funktor, dann ist

F(f)\colon F(X)\to F(Y)

ebenfalls ein Isomorphismus, in der Kategorie D. In der algebraischen Topologie wird diese Eigenschaft häufig ausgenutzt, um Räume unterscheiden zu können: Sind beispielsweise die Fundamentalgruppen zweier Räume nicht isomorph, so sind die Räume nicht homöomorph.

Beispiele

Sind (X, \cdot) und \left(Y, +\right) Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f: X \rightarrow Y mit

f(u) + f(v) = f(u \cdot v)

für alle u, v \in X. So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von (\mathbb{R}^+, /) nach (\mathbb{R}, -), da \log(x) - \log(y) = \log\left(\tfrac{x}{y}\right).

Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.

Sind (X, \leq_X) und (Y, \leq_Y) total geordnete Mengen, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine ordnungserhaltende Bijektion. Diese Isomorphismen spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle.

Sind \left(X, d\right) und \left(Y, D\right) metrische Räume und ist f ein Isomorphismus von X nach Y mit der Eigenschaft

D\left(f(u), f(v)\right) = d(u, v) für alle u, v \in X,

dann nennt man f einen isometrischen Isomorphismus.

In der universellen Algebra kann man eine allgemeine Definition eines Isomorphismus angeben, die diese und andere Situationen abdeckt. Die Definition eines Isomorphismus in der Kategorientheorie ist noch allgemeiner.

Lässt man in den gegebenen Beispielen die Forderung der Bijektivität weg, erhält man jeweils Homomorphismen.

Siehe auch

Literatur

  • Klaus Jänich, Topologie, Springer-Verlag, 1.korrigierter Nachdruck der 8. Auflage 2006, ISBN 3-540-21393-7

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Isomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Isomorphismus — Iso|mor|phịs|mus 〈m.; ; unz.; Math.〉 umkehrbar eindeutige Zuordnung zw. den Elementen zweier Mengen; Sy isomorphe Abbildung * * * Isomorphịsmus   der, ,    1) Mathematik: isomọrphe Abbildung, Grundbegriff der Algebra; Bezeichnung für einen… …   Universal-Lexikon

  • Isomorphismus — I|so|mor|phịs|mus 〈m.; Gen.: ; Pl.: unz.; Math.〉 umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

  • Isomorphismus — Iso|mor|phis|mus der; <zu ↑...ismus>: 1. Eigenschaft gewisser chem. Stoffe, gemeinsam dieselben Kristalle (Mischkristalle) zu bilden. 2. spezielle, umkehrbar eindeutige Abbildung einer ↑algebraischen Struktur auf eine andere (Math.) …   Das große Fremdwörterbuch

  • Isomorphismus — Iso|mor|phịs|mus, der; , ...men (Eigenschaft gewisser chemischer Stoffe, gemeinsam die gleichen Kristalle zu bilden) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • Curry-Howard-Isomorphismus — Als Curry Howard Isomorphismus (auch: Curry Howard Korrespondenz) bezeichnet man die Interpretation von Typen als logische Aussagen und von Termen eines bestimmten Typs als Beweise der zum Typ gehörenden Aussage; und umgekehrt. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Gödel-Isomorphismus — Eine Gödelnummer ist eine natürliche Zahl, die einem Wort einer formalen Sprache nach einem gewissermaßen „durchschaubaren“ Verfahren – Gödelisierung – zugeordnet wird und dieses Wort eindeutig kennzeichnet. Alle über die Kodierung von Programmen …   Deutsch Wikipedia

  • Isomorph — In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • Isomorphe Gruppe — In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • Isomorphie (Mathematik) — In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • Pfeil (Kategorientheorie) — In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man so genannte Kategorien, die aus einer Vielzahl von Objekten und Morphismen bestehen. Eine Kategorie ist gegeben durch zwei Daten: Eine Klasse von Objekten und für je zwei… …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.