Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition

Es seien $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ ein σ-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot\|)$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral $\int_\Omega f\,{\rm d}\mu$ einer Funktion $f:\Omega\to B$ ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

$s(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_i\chi_{X_i}(x)$

mit Faktoren $\alpha_i\in B$ und messbaren Mengen $X_i\in\mathcal A$, wobei $\chi_{X_i}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

$\int_\Omega s\,{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(X_i)$,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von s ist.^[1]

Eine Funktion $f: \Omega \rightarrow B$ heißt μ-messbar, wenn es eine Folge $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass $\lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)$ für μ-fast alle $x \in \Omega$ gilt.^[2]

Eine μ-messbare Funktion $f: \Omega \rightarrow B$ heißt Bochner-integrierbar^[3], falls es eine Folge $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass

• $\lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)$ für μ-fast alle $x \in \Omega$ gilt und
• zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ existiert mit

$\int_\Omega \|s_n-s_k\| {\rm d}\mu < \varepsilon$ für alle $n, k \geq n_0$.

In diesem Fall ist

$\int_\Omega f\,{\rm d}\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega s_n\,{\rm d}\mu$

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit obigen Eigenschaften.^[4] Falls $M \in \mathcal{A}$ und $f: M \rightarrow B$, so schreibt man

$\int_Mf{\rm d}\mu := \int_\Omega \tilde{f}{\rm d}\mu$ mit $\tilde{f}(x) := \left\{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm falls}\ x \in M\ ,\\0\ ,&{\rm falls}\ x \in \Omega \setminus M,\\\end{array}\right.$

sofern $\tilde{f}$ Bochner-integrierbar ist. ^[5]

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die μ-Messbarkeit:

Die Funktion $f:\Omega\to B$ ist genau dann μ-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional $\phi\in B'$ ist $\phi\circ f:\Omega\to {\mathbb K}$ μ-messbar.
• Es gibt eine μ-Nullmenge $N\subset\Omega$, so dass $f(\Omega\setminus N)\subset B$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist B ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die μ-Messbarkeit B-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die μ-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrabler Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z.B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine μ-messbare Funktion $f:\Omega\to B$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn $\int_{\Omega} \|f\|\,{\rm d}\mu < \infty.$

Eigenschaften

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen $f, g: \Omega \rightarrow B$ und beliebige $\alpha , \beta \in \mathbb R$ ist auch $\ \alpha f + \beta g \$ integrierbar, und es gilt:

$\int_ \Omega \alpha f + \beta g \, {\rm d}\mu = \alpha \cdot \int_\Omega f d\mu + \beta \cdot \int_\Omega g \, {\rm d}\mu$.

Der Satz von Radon-Nikodym gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume B, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[6]

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
• Malempati Madhusudana Rao: Measure Theory and Integration. CRC Press 2004, ISBN 0824754018, Seiten 505ff.

Weblinks

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. In: Fundamenta Mathematicae. Band 20, 1933, Seiten 262–276.
• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).
• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.

Einzelnachweise

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Bemerkung X.2.1 (a).
2. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 65.
3. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 87.
4. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Korollar X.2.7.
5. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 94.
6. ↑ Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures. Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, ISBN 0821815156, Corollary III.2.13.