Reidsche Ungleichung

Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.

Formulierung

Seien H ein Hilbertraum und A,B stetige lineare Operatoren auf H, so dass gilt:

• A ist ein positiver Operator, das heißt $\langle Ax,x\rangle \ge 0$ für alle $x\in H$
• AB ist selbstadjungiert, das heißt $\langle ABx,y\rangle = \langle x,ABy\rangle$ für alle $x,y\in H$.

Dann gilt $|\langle ABx,x\rangle| \le \|B\|\langle Ax,x\rangle$ für alle $x\in H$.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform $(x,y)\to \langle Ax,y\rangle$ auf H.

Anwendung

• Sind die positiven Operatoren A und B vertauschbar, das heißt AB = BA, so ist auch AB positiv.

Zum Beweis sei I der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist $\|B\| \le 1$. Dann ist auch $0 \le I-B \le 1$ und daher $\|I-B\|\le 1$. Da A auch mit I − B vertauscht, ist A(I − B) selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert $\langle A(I-B)x,x\rangle \le \|I-B\| \langle Ax,x\rangle \le \langle Ax,x\rangle$. Also ist $A-AB = A(I-B)\le A$, das heißt $AB \ge 0$.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von A und B erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum X ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen $X\mapsto \R_0^+$ wieder eine solche Funktion ist.

Quellen

• W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41-56, (1951)
• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975