Konvergenzbereich

Konvergenzbereich

Ein Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenfolge oder (häufiger) Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet eine (oft auch die im Sinne der Inklusion maximale) Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe punktweise konvergiert. Konvergenzgebiete sind Gebiete, also offene, zusammenhängende Teilmengen von Konvergenzbereichen. Die Begriffe Konvergenzbereich und -gebiet verallgemeinern die Begriffe „Konvergenzintervall“ bzw. „Konvergenzkreisscheibe“ aus der elementaren, reellen Analysis und der elementaren Funktionentheorie. Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen werden aus historischen Gründen gelegentlich als (verallgemeinerte) Cauchy-Hadamard-Formeln bezeichnet. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard formuliert solche Kriterien für komplexe Potenzreihen.

Inhaltsverzeichnis

Häufig gebrauchte Funktionenreihen

Die im folgenden betrachteten Reihen sind immer als komplexe Reihen zu verstehen, das heißt ihre Koeffizienten sind komplex, die unabhängige Variable ist komplex, die Glieder der Reihen sind auf einer Teilmenge von \C definierte Funktionen und ihre Konvergenzgebiete und -bereiche sind Teilmengen von \C. Die Reihen selbst stellen natürlich nur dann Funktionen dar, wenn ihr maximaler Konvergenzbereich nicht leer ist.

  • Für eine Potenzreihe ist das maximale Konvergenzgebiet eine offene Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt z0, deren Radius Konvergenzradius \rho\in\R_+\cup\lbrace \infty\rbrace genannt wird oder (für ρ = 0) ihr maximaler Konvergenzbereich ist {z0}, dann besitzt sie kein Konvergenzgebiet.
  • Für eine Laurentreihe ist das maximale Konvergenzgebiet ein offener Kreisring um den Entwicklungspunkt oder es gibt kein Konvergenzgebiet.
  • Für eine Dirichletreihe ist das maximale Konvergenzgebiet H eine „rechte“ Halbebene, die in der komplexen Zahlenebene durch H=\lbrace z\in\C, \operatorname{Re}(z)>\sigma_0\rbrace gegeben ist. Die Zahl \sigma_0\in \R\cup\lbrace -\infty\rbrace heißt die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe. Auch im Falle \sigma_0=+\infty spricht man von einer (formalen) Dirichletreihe mit dieser Konvergenzabszisse, allerdings konvergiert diese in keinem Punkt von \C, daher besitzt sie auch keine Konvergenzgebiete und ihr einziger und maximaler Konvergenzbereich ist die leere Menge.

Sofern überhaupt ein Konvergenzgebiet existiert, gilt in all diesen drei Fällen:

  • Es existiert genau ein maximales Konvergenzgebiet (das Konvergenzgebiet).
  • Die Reihe konvergiert auf jedem Konvergenzgebiet kompakt.
  • Der maximale Konvergenzbereich ist eine Teilmenge der abgeschlossenen Hülle des maximalen Konvergenzgebietes und also
  • ist das maximale Konvergenzgebiet genau das Innere des maximalen Konvergenzbereiches.
  • Die Reihe divergiert in jedem Punkt, der nicht in der abgeschlossenen Hülle des maximalen Konvergenzgebietes liegt.
  • Es gibt Reihen, die in einigen, aber nicht in allen Punkten, die auf dem Rand des maximalen Konvergenzgebietes liegen, konvergieren. Die Konvergenz in einem solchen Randpunkt kann auch absolut sein, ohne dass sich daraus direkt auf das Konvergenzverhalten in anderen Randpunkten schließen lässt.

Verallgemeinerung für metrische Räume

Sei (M,d) ein metrischer Raum und (E,||.||) ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen f_n:M\to E gegeben. Dann

  • konvergiert die Reihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n im Punkt x\in M, falls die Folge der Partialsummen \textstyle S_k(x):=\sum_{n=0}^k f_n(x), die eine Punktfolge im Wertebereich E ist, konvergiert.
  • konvergiert die Reihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n absolut im Punkt x\in M, falls die Zahlenreihe über die Normen der Summanden \textstyle \sum_{n=0}^\infty \|f_n(x)\| konvergiert.

Jede Menge von Punkten x\in M, in denen Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt. Jede Zusammenhangskomponente des Inneren der Menge aller Punkte, in denen die Folge konvergiert, ein maximales Konvergenzgebiet.

Bemerkung: In Randpunkten eines Konvergenzgebietes oder eines Konvergenzbereiches muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe kann im Wertebereich sogar divergent sein.

Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard

Die folgenden Aussagen über die Konvergenzbereiche von komplexen Potenzreihen wurden (im Wesentlichen) zunächst von Augustin Louis Cauchy 1821 formuliert[1], aber allgemein kaum zur Kenntnis genommen, bis sie von Jacques Hadamard wiederentdeckt wurden.[2] Dieser veröffentlichte sie 1888.[3] Daher werden sie (und einige moderne Verallgemeinerungen) als Formel oder auch Satz von Cauchy-Hadamard bezeichnet. Modern, aber noch ohne Verallgemeinerungen auf andere als Potenzreihen formuliert, besagt der Satz von Cauchy-Hadamard:

Sei M=\mathbb C, E=\mathbb C und f_n(x)=c_n\cdot x^n mit c_n\in\mathbb C für jedes n\in\N, d.h. die Funktionenreihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

  1. Die offene Kreisscheibe B(0,r) um den Nullpunkt mit Radius r > 0 gehört zum maximalen Konvergenzbereich, falls \left| c_n\right| \cdot r^n<1 für alle bis auf endlich viele n\in\N erfüllt ist.
  2. Das Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe B(0,R) schneidet den maximalen Konvergenzbereich nicht, wenn \left| c_n\right| \cdot R^n>1 für unendlich viele n\in\N gilt.
  3. Es gibt einen Radius, bei dem sich die beiden vorgenannten Aussagen „treffen“. Als Konvergenzradius wird  \rho=\left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\right)^{-1} bezeichnet, falls der limes superior als reelle Zahl, also im eigentlichen Sinn existiert und nicht 0 ist. Ist der limes superior 0, dann ist der Konvergenzradius \rho=+\infty, ist der limes superior +\infty, dann ist der Konvergenzradius ρ = 0. Der maximale Konvergenzbereich der Potenzreihe enthält die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius ρ. Im Falle ρ = 0 ist dies die leere Menge, sonst das maximale Konvergenzgebiet.
  4. Die Potenzreihe konvergiert in allen Punkten, deren Abstand zur Null kleiner als der Konvergenzradius ρ ist. Außerdem divergiert sie in allen Punkten, deren Abstand größer ρ ist. Über die Konvergenz in Punkten, deren Abstand zum Nullpunkt genau ρ ist (d.h. die Kreislinie mit diesem Radius), kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

Die letzte Aussage gilt sinngemäß ebenso für die Randpunkte der maximalen Konvergenzbereiche von Laurent- und Dirichletreihen. Auch deren maximales Konvergenzgebiet kann durch geeignete limites superiores berechnet werden.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Hauptartikel: Weierstraßscher M-Test

Die folgenden Konvergenzkriterien wurden ursprünglich für Potenzreihen formuliert und auf ihnen beruht die klassische Form des Satzes von Cauchy-Hadamard. Sie gelten in der hier gegebenen Formulierung jedoch auch allgemeiner unter den oben im Abschnitt #Verallgemeinerung für metrische Räume formulierten Bedingungen.

  1. (Majorante) Gibt es eine konvergente Reihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty a_n mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet G\subseteq M mit \|f_n\|\le a_n für alle x\in G und alle bis auf endlich viele n\in\N, so ist G Teilmenge eines maximalen Konvergenzgebietes. Die Konvergenz ist auf G absolut, gleichmäßig und kompakt, damit ist die durch die Reihe auf G definierte Grenzfunktion F auf G stetig, falls dies für alle bis auf endlich viele Partialsummen gilt.
  2. (Minorante) Ist \textstyle \sum_{n=0}^\infty b_n eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet H \subseteq M die Ungleichung \|f_n(x)\| > b_n für alle x \in H und für alle bis auf endlich viele n \in \N, so ist H im Komplement des maximalen Konvergenzbereiches als Teilmenge enthalten.
  3. (Limitierung) Ist das Majorantenkriterium auf einem Gebiet G erfüllt und sind alle Partialsummen der Funktionenreihe stetig auf G und ist das Majorantenkriterium auch noch für einen Randpunkt x_0\in\partial G (gegebenenfalls nach stetiger Fortsetzung der auf G stetigen Partialsummen) erfüllt, dann konvergiert die Funktionenreihe auch in \!\,\lbrace x_0\rbrace\cup G gleichmäßig und die Grenzfunktion F ist stetig bzw. stetig fortsetzbar auf \lbrace x_0\rbrace\cup G und für die Grenzfunktion bzw. ihre Fortsetzung gilt
F(x_0)=\lim_{N\to\infty}\lim_{x\to x_0\atop x\in G}\sum_{n=0}^N f_n(x)=\lim_{x\to x_0\atop x\in G}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N f_n(x)

Beispiele

  • Die Potenzreihe der natürlichen Exponentialfunktion \textstyle \exp(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}, z\in\C konvergiert überall absolut, ihr Konvergenzradius ist also \rho=+\infty. Die Konvergenz auf \C ist absolut, kompakt und lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig.
  • Die formale Potenzreihe \textstyle \sum_{n=0}^\infty\frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}z^n, z\in\C konvergiert im Inneren der Einheitskreisscheibe absolut gegen (1 + z)a. Für a\in\N_0 ist ihr maximales Konvergenzgebiet die Menge der komplexen Zahlen (\rho=+\infty), ansonsten genau dieser Einheitskreis (ρ = 1).
  • Die formale Dirichletreihe der Riemannschen Zetafunktion \textstyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}, s\in\C hat die Konvergenzabszisse σ0 = 1. Für den Randpunkt s = 1 des maximalen Konvergenzgebietes G=\lbrace s\in \C | \operatorname{Re}(s)>1\rbrace ist diese Dirichletreihe die divergente harmonische Reihe.

Literatur

Zur Geschichte des Satzes von Cauchy-Hadamard

  • Umberto Bottazzini: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Springer, New York/Berlin/Heidelberg 1986 (übersetzt von Warren Van Egmond), ISBN 9780387963020.
  • Jacques Hadamard: Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. In: C. R. Acad. Sci.. Band 106, Paris 1888, S. 259–262.

Einzelnachweise

  1. Augustin Louis Cauchy: Analyse algébrique (1821)
  2. Bottazzini (1986), S. 115ff
  3. Hadamard (1888)

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Konvergenzbereich — glausties sritis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. convergence domain vok. Annäherungsbereich, m; Konvergenzbereich, m rus. область сходимости, f pranc. domaine de convergence, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • Cauchy-Hadamard — Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in dem die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Cauchy-Hadamard — Der Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet die Menge aller derjenigen Punkte im Definitionsbereich, in dem die Funktionenreihe absolut konvergiert. Insbesondere für… …   Deutsch Wikipedia

  • Cordic — Der CORDIC Algorithmus (COordinate Rotation DIgital Computer) ist ein effizienter iterativer Algorithmus, mit dessen Hilfe sich viele Funktionen implementieren lassen, wie z. B. trigonometrische, exponential und logarithmische sowie auch die… …   Deutsch Wikipedia

  • CORDIC — Der CORDIC Algorithmus (COordinate Rotation DIgital Computer) ist ein effizienter iterativer Algorithmus, mit dessen Hilfe sich viele Funktionen implementieren lassen, wie z. B. trigonometrische, exponential und logarithmische sowie auch die …   Deutsch Wikipedia

  • Formel von Cauchy-Hadamard — Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert. Falls sie auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius… …   Deutsch Wikipedia

  • Fortsetzungsverfahren — Homotopie Verfahren (auch als Homotopiemethode, Fortsetzungs oder Einbettungsverfahren bezeichnet) sind Berechnungsmethoden in der numerischen Mathematik zur Bestimmung von Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme. Ziel ist es dabei den… …   Deutsch Wikipedia

  • Konvergenzradius — Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert: Dabei kennzeichnet sup das Supremum der Menge. Falls die Potenzreihe auf der ganzen… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Entwicklung — In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor Entwicklungen oder Taylor Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Näherung — In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor Entwicklungen oder Taylor Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”