Limes superior und Limes inferior

Limes superior und Limes inferior
Eine Illustration des Limes superior und des Limes inferior. Die Folge xn wird in Blau dargestellt. Die zwei roten Kurven nähern sich dem Limes superior und Limes inferior von xn an, die als durchgehende Rote Linien am rechten Rand dargestellt sind. In diesem Fall liegen zwei der Häufungspunkte der Folge bei diesen Werten. Der Limes superior ist der größere der zwei Werte, während der Limes inferior der kleinere Wert ist. Der Limes superior und der Limes inferior stimmen nur überein, wenn die Folge konvergent ist (also wenn es nur einen Grenzwert gibt).

In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (xn) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (xn). Analog werden Limes superior und Limes inferior von reellwertigen Funktionen definiert. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Formal wird der Limes inferior einer Folge (xn) definiert als

\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\geq 0\}

bzw. als

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)

und mit \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n oder auch mit \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n bezeichnet. Analog definiert man \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right).


Diese Definitionen sind in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge (xn), so ist \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.

Folgen reeller Zahlen

Für eine Folge reeller Zahlen müssen Limes inferior und Limes superior nicht existieren, da die reellen Zahlen keinen vollständigen Verband bilden. Wenn sie existieren, sind sie der kleinste bzw. der größte Häufungspunkt der Folge. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen \R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Für eine Folge von reellen Funktionen (f_n)_{\{n \in \N\}} mit f_n\colon\R\rightarrow\R für n \in \N sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert, d.h.

(\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n)(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x),

analog für lim sup.

Eine der bekanntesten mathematischen Aussagen, die den Begriff des Limes inferior verwenden, ist das Lemma von Fatou.

Folgen von Mengen

Limes superior und Limes inferior

Für eine beliebige Menge Ω bildet die Potenzmenge P(Ω) einen vollständigen Verband unter der durch die Teilmengenrelation definierten Ordnung. Der Limes inferior einer Folge (An) von beliebigen Teilmengen von Ω ist die Menge aller Elemente aus Ω, die in fast allen An liegen. Der Limes superior der Mengenfolge (An) ist die Menge aller Elemente aus Ω, die in unendlich vielen An liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)

und

\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).

Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

Man kann sich die Formeln klar machen, wenn man zunächst Schnitt beziehungsweise Vereinigung endlicher Mengen betrachtet. Die rechte Seite der Gleichung für den Limes superior für n = 2 und n = 3 lautet

{\bigcap_{n=1}^2}\left({\bigcup_{m=n}^2}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\right)\cap A_2=A_2
{\bigcap_{n=1}^3}\left({\bigcup_{m=n}^3}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\cap\left(A_2\cup A_3\right)\cap A_3=A_3

In jedem Schritt wird eine weitere Menge aus der Vereinigung aller Mengen herausgeteilt. Zurück bleibt schließlich für alle endlichen n nur An. Im unendlichen bleiben nur Mengen übrig, die in unendlich vielen An vorkommen, weil diese niemals herausgeteilt werden können. Somit ist der Limes superior gerade der Teil, der in unendlich vielen An liegt.

Zusammenhang mit Folgen von Zahlen

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x) für A=\bigcup_nA_n

und

\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x) für A=\bigcap_nA_n

folgt

\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),

analog für lim sup.

Konvergenz

Man sagt, die Folge (An) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n oder auch A_n\rightarrow A. Eine Folge von Teilmengen einer Menge X konvergiert genau dann, wenn es zu jedem x einen Index N gibt, so dass entweder x\in A_n für alle n\geq N oder x\notin A_n für alle n\geq N gilt.

Monotone Konvergenz

Ist A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots, dann kann man zeigen, dass (An) gegen die Menge A = \bigcup_nA_n konvergiert und man schreibt A_n\uparrow A.

Entsprechend kann man für A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots zeigen, dass (An) gegen die Menge A = \bigcap_nA_n konvergiert und man schreibt A_n\downarrow A.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen

Ist eine reellwertige Funktion f:I\to \R auf einem Intervall I gegeben und ξ ein innerer Punkt des Intervalls, so sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen \bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}, die folgendermaßen definiert sind:[1]

\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a)),
\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a)).

f((ξ − a,ξ + a)) bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls (ξ − a,ξ + a); a ist dabei so klein zu wählen, dass (\xi-a,\xi+a)\subseteq I.

Analog zu einseitigen Grenzwerten werden ein einseitiger Limes superior und ein einseitiger Limes inferior definiert:

\limsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a)),
\liminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a)),
\limsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi)),
\liminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi)).

Limes superior und Limes inferior von Funktionen werden beispielsweise bei der Definition der Halbstetigkeit verwendet.

Quellen

  1. Nelson Dunford and Jacob T. Schwartz. Linear Operators. Part I. General Theory. John Wiles and Sons, 1988, p. 4. ISBN 0-471-60848-3.

Literatur


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