Kolmogoroff-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik bezeichnet ein Kolmogoroff-Raum (benannt nach dem Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow), auch T₀-Raum genannt, eine große Klasse „gutartiger“ topologischer Räume. Das T₀-Axiom ist eines der Trennungsaxiome.

Topologische Unterscheidbarkeit

Um T₀ zu definieren, führen wir zuerst das Konzept der topologischen Unterscheidbarkeit ein. In einem topologischen Raum X heißen zwei Punkte x und y topologisch nicht unterscheidbar, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• x und y besitzen die gleichen Umgebungen, d.h. jede offene Menge U enthält x, genau dann wenn sie y enthält.
• x ist ein Element des Abschlusses von {y} und y gehört zum Abschluss von {x}.
• x und y haben dieselben Abschlüsse.

Andernfalls heißen x und y topologisch unterscheidbar. Vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies, dass die Topologie auf X in der Lage ist, zwischen den Punkten x und y zu unterscheiden.

In einem indiskreten Raum sind zum Beispiel zwei beliebige Punkte topologisch nicht unterscheidbar.

Definition

Ein topologischer Raum X ist ein T₀-Raum, wenn jedes Paar von verschiedenen Punkten topologisch unterscheidbar ist.

Topologisch unterscheidbare Punkte sind automatisch verschieden. Andererseits sind für zwei getrennte einpunktige Mengen {x} und {y} die Punkte x und y immer topologisch unterscheidbar. Das heißt es gilt

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ verschieden.

Im Allgemeinen ist die Bedingung topologisch unterscheidbar zu sein strenger als die, verschieden zu sein, und schwächer als diejenige, getrennt zu sein. In einem T₀-Raum gilt auch die Umkehrung des zweiten Pfeils: zwei Punkte x und y sind genau dann verschieden, wenn sie topologisch unterscheidbar sind. Dies ist die Beziehung des Trennungsaxioms T₀-Raum zu den anderen Trennungsaxiomen.

Eine weitere äquivalente Definition ist: X ist genau dann ein T₀-Raum, wenn für zwei beliebige Punkte in X eine offene Menge in X existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. Im Gegensatz zur analogen Charakterisierung eines T₁-Raumes, kann nicht vorausgesagt werden, welcher der beiden Punkte zur offenen Menge gehört.

T₀-Räume sind schön

Fast alle topologischen Räume, die in der Mathematik studiert werden, erfüllen das Axiom T₀. Für den Fall, dass einem trotzdem ein topologischer Raum begegnet, der T₀ nicht erfüllt, kann der Raum oft, besonders in der Analysis, durch einen T₀-Raum ersetzt werden. Dies erweist sich in vielen Fällen als nützlich. Die folgenden Ausführungen präzisieren dies: Bei einer gegebenen Menge X, wo aber die Möglichkeit, die Topologie in gewissen Grenzen zu variieren, existiert, kann es unerwünscht sein, die Topologie zu zwingen T₀ zu sein, da nicht T₀-Räume oft wichtige Spezialfälle sind. So ist es wichtig, von verschiedenen Bedingungen an Topologien jeweils sowohl die Version mit als auch ohne T₀ zu kennen.

Um die allgemeinen Ideen zu motivieren, beginnen wir mit einem bekannten Beispiel. Der Raum $\mathcal{L}^2(\R)$ besteht aus allen messbaren Funktionen $f:\R\to\Bbb C$, so dass das Lebesgue-Integral von | f(x) | ² über $\R$ endlich ist. Durch die Definition $\|f\| = \sqrt{\int_{\R}|f(x)|^2 \,\mathrm dx}$ wird dieser Raum mit einer Halbnorm ausgestattet. Man möchte aber lieber einen normierten Vektorraum erhalten. Das Problem ist, dass von der Nullfunktion verschiedene Funktionen existieren, die die Halbnorm 0 haben (Verletzung der Definitheitsforderung). Die Standardlösung ist es nun, zu einem Raum $L^2(\R)$ von Äquivalenzklassen überzugehen. Dies ergibt einen Faktorraum des ursprünglichen Vektorraumes, und dieser Faktorraum ist ein normierter Raum, der aber verschiedenste Eigenschaften des halbnormierten Raumes erbt.

Sowohl bei der Problemstellung als auch bei der Lösung sind in erster Linie die durch die Norm und Halbnorm erzeugten Topologien involviert. Eine Funktion mit Halbnorm 0 ist von der Nullfunktion topologisch nicht unterscheidbar. Die miteinander identifizierten Funktionen sind genau die im ursprünglichen halbnormierten Raum topologisch nicht unterscheidbaren „Punkte“ (hier Funktionen).

Der Kolmogoroff-Quotientenraum

Topologische Nichtunterscheidbarkeit ist eine Äquivalenzrelation. Egal mit welchem topologischen Raum X wir starten, der Quotientenraum unter dieser Äquivalenzrelation ist ein T₀-Raum. Dieser Quotient heißt Kolmogoroff-Quotient von X; er wird mit KQ(X) bezeichnet. Falls X bereits ein T₀-Raum war, sind KQ(X) und X homöomorph.

Zwei topologische Räume heißem kolmogoroff-äquivalent, falls deren Kolmogoroff-Quotienten homöomorph sind. Das interessante an Kolmogoroff-Äquivalenz ist, dass viele Eigenschaften von topologischen Räumen unter dieser Äquivalenz erhalten bleiben, das heißt für zwei kolmogoroff-aquivalente Räume keiner oder beide eine solche Eigenschaft besitzen. Andererseits folgt aus verschiedenen anderen Eigenschaften topologischer Räume das T₀-Axiom, das heißt, wenn ein Raum eine solche Eigenschaft erfüllt, so ist er ein T₀-Raum. Es existieren nur wenige Ausnahmen, so zum Beispiel die Eigenschaft, ein indiskreter Raum zu sein. Oft ist die Situation noch komfortabler, denn viele Strukturen auf topologischen Räumen übertragen sich von X auf KQ(X) und umgekehrt. Das bedeutet, dass wenn man einen Raum ohne T₀ hat, kann man mit dem Kolmogoroff-Quotienten KQ(X) einen T₀-Raum mit derselben Struktur und denselben Eigenschaften konstruieren.

Das Beispiel L²($\mathbb{R}$) (siehe Lp-Raum) kann als Demonstration dieser Möglichkeit dienen. Aus topologischer Sicht hat der halbnormierte Raum, mit dem wir gestartet sind, viele zusätzliche Strukturen. So ist L²($\mathbb{R}$) ein Vektorraum, mit einer Halbnorm. Diese definiert eine Semimetrik und eine mit der Topologie verträglichen uniforme Struktur. Diese Struktur besitzt weitere Eigenschaften. So erfüllt die Seminorm die Parallelogrammgleichung und die uniforme Struktur ist vollständig. Der Kolmogoroff-Quotient, ebenfalls mit L²($\mathbb{R}$) bezeichnet, behält diese Eigenschaften. L²($\mathbb{R}$) ist ebenfalls ein vollständiger, halbnormierter Raum, dessen Halbnorm die Parallelogrammgleichung erfüllt. Wir erhalten aber sogar etwas mehr, denn der Raum ist ein T₀-Raum. Da ein halbnormierter Raum, genau dann ein normierter Raum ist, wenn die unterliegende Topologie T₀ erfüllt, ist L²($\mathbb{R}$) ein vollständiger normierter Raum, dessen Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt. Solche Räume heißen Hilbert-Räume. Wir haben es hier mit einem Beispiel zu tun, das sowohl in der Mathematik als auch in der Physik, speziell in der Quantenmechanik, untersucht wird.

Entfernen von T₀

Wenn man die historische Entwicklung untersucht, wird man feststellen, dass obwohl die Norm zuerst definiert wurde, später die schwächere Halbnorm eingeführt wurde, also eine nicht-T₀-Variante einer Norm. Es ist allgemein möglich, solche nicht-T₀-Versionen sowohl für Eigenschaften als auch Strukturen für topologische Räume einzuführen. Beginnen wir mit der Eigenschaft eines topologischen Raumes ein Hausdorff-Raum zu sein. Man kann eine weitere Eigenschaft eines topologischen Raume definieren, indem man sagt, dass der Raum X genau dann diese Eigenschaft erfüllt, wenn der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ein Hausdorff-Raum ist. Dies ist durchaus eine sinnvolle Definition, auch wenn sie weniger bekannt ist. Solch eine Raum nennt man präregulären Raum. (Es zeigt sich, das eine direktere Definition der Präregularität existiert.) Nehmen wir nun eine Struktur, die auf einen topologischen Raum gelegt werden kann, wie zum Beispiel eine Metrik. Wir können eine neue Struktur auf einen topologische Raum legen, indem wir auf KQ(X) eine Metrik definieren. Auch hier erhalten wir eine bekannte Struktur, nämlich eine Pseudometrik. (Auch dies kann direkter definiert werden.)

Dies ergibt einen natürlichen Weg, die Eigenschaft T₀ von den Anforderungen an eine Eigenschaft oder einer Struktur zu entfernen. Im Allgemeinen ist es einfacher, Räume zu untersuchen, die T₀ erfüllen, aber es kann andererseits auch nützlich sein, Räume ohne T₀ miteinzubeziehen, um ein vollständigeres Bild zu erhalten. Je nach Bedarf kann die Eigenschaft T₀ mit Hilfe des Kolmogoroff-Quotienten hinzugefügt oder entfernt werden.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).