Abschluss (Topologie)

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge U eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von U.

Definition

Ist X ein topologischer Raum, also beispielsweise ein metrischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ der Durchschnitt $\overline{U}$ aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die U beinhalten. Die Menge $\overline{U}$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von U.

Ein Punkt $b\in X$ heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von U, wenn in jeder Umgebung von b mindestens ein Element von U enthalten ist. $\overline{U}$ besteht genau aus den Berührpunkten von U.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt X das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn X ein metrischer Raum ist), so ist $\overline U$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in U liegen.

Ist X ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in U liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle $\overline{B(x,r)}$ einer offenen Kugel

$B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

mit Radius r und Mittelpunkt $x\in X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

$\overline{B}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

$\overline{B(x,r)} \subseteq \overline{B}(x,r)$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

$d(x,y)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{f\ddot ur}\ x\not=y\\ 0&\mathrm{f\ddot ur}\ x=y\end{matrix}\right.$

definiert ist. Dann gilt für jedes $x\in X$:

$\{x\} = B(x,1) = \overline{B(x,1)} \subsetneq \overline{B}(x,1) = X.$

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in dem für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

$B(x,r) \subsetneq \overline{B(x,r)} \subsetneq \overline{B}(x,r)$

Ein Beispiel ist die Menge $X = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\}$ mit der vom euklidischen Raum $\mathbb{R}^2$ induzierten Metrik. Hier erfüllt x = (0,0),r = 1 die angegebene Inklusionsbedingung:

$B(0,1) = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 < a < 1\} \subsetneq$

$\overline{B(x,r)} = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \subsetneq$

$\overline{B}(x,r) = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\} = X$

Literatur

• Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators, Birkhäuser, 2003, ISBN 0817642501