Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Sei

y' = f(x,y)

eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit den Anfangsbedingungen

y(x0) = y0

und sei weiter h die gewünschte Schrittweite. Dann wird der angenäherte Wert von y(x0 + h) = y(x1) nach Runge wie folgt errechnet:


\begin{array}{rclrcl}
&&&y'_0 &=& f(x_0,y_0)\\[0.7em]
y_A &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_0&
y'_A &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_A)\\[0.3em]
y_B &=& y_0+\frac{h}{2} \cdot y'_A&
y'_B &=& f(x_0+\frac{h}{2},y_B)\\[0.3em]
y_C &=& y_0+h \cdot y'_B&
y'_C &=& f(x_0+h,y_C)\\[0.7em]
y_1 &=& y_0+h \cdot \frac{1}{6}\left(y'_0+2(y'_A+y'_B)+y'_C\right)
\end{array}

Mit den neuen Werten x1 und y1 kann dann der nächste Rungeschritt durchgeführt werden. Die erzielte Genauigkeit liegt – bei genügend glattem f(x,y) – in der Größenordnung von h4.

Systeme von Differentialgleichungen

Das obige Schema kann leicht auch auf Systeme von n Differentialgleichungen y'_i=f(x,y_1,\dots,y_i,\dots,y_n) erweitert werden. Es ist nur für jede abhängige Variable eine eigene Spalte yi bzw. yi' einzurichten und für jede die obigen Schritte auszuführen unter Verwendung der jeweiligen yi der vorangegangenen Zeile.

Literatur

  • E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer Verlag

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