Klassifikation (Mathematik)

In vielen mathematischen Disziplinen ist eines der großen Ziele, eine Klassifikation der im jeweiligen Teilbereich studierten Objekte zu erreichen. In vielen Bereichen ist auch die moderne Forschung noch weit von einer vollständigen Klassifikation entfernt, dennoch sind Ansätze zu einer partiellen Klassifikation eine der wesentlichen Quellen neuer Begriffe und Konzepte.

Je nach Art der Objekte gibt es unterschiedliche Definitionen dafür, welche Objekte für die Zwecke der Klassifikation als "nicht wesentlich verschieden" (isomorph) angesehen werden sollen.

Klassifikation durch Aufzählung

Diese Art der Klassifikation besteht in der Angabe einer vollständigen Liste der Isomorphieklassen. Beispiele sind:

• Jeder Vektorraum über einem Körper k ist isomorph zu k⁽ⁿ⁾ für eine gewisse Kardinalzahl n.
• Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Siehe auch: Normalform

Klassifikation durch Invarianten

Eine Invariante ist eine Eigenschaft eines Objektes, die für alle Objekte einer Isomorphieklasse gleich ist. Ein vollständiges System von Invarianten ist die Angabe mehrerer Eigenschaften, so dass zwei Objekte, die in allen diesen Eigenschaften übereinstimmen, isomorph sind. Beispiele sind:

• Vektorräume über einem festen Körper sind durch die Angabe ihrer Dimension bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
• Geschlossene Flächen sind durch die Angabe ihres Geschlechtes bis auf Diffeomorphie eindeutig bestimmt.

Klassifikation durch Äquivalenz von Kategorien

Eine schwache Form der Klassifikation wird oft durch eine Äquivalenz von Kategorien zu einer einfacheren Kategorie erreicht. Beispiele sind:

• Die Kategorie der Teilerweiterungen einer galoisschen Körpererweiterung ist äquivalent zur Kategorie der Untergruppen der Galoisgruppe.
• Die Kategorie der Überlagerungen eines topologischen Raumes ist unter gewissen Voraussetzungen äquivalent zur Kategorie der Mengen mit einer Operation der Fundamentalgruppe des Basisraumes.