Holonom

Holonom

Holonom (griech.: "ganz gesetzlich") ist eine Eigenschaft eines mechanischen Systems. Ein holonomes System von Körpern zeichnet sich dadurch aus, dass sich die Lage der Körper durch n generalisierte Koordinaten q_1, q_2, \ldots, q_n beschreiben lässt, die

  • gänzlich unabhängig voneinander sind oder
  • durch m < n Bedingungen
a_i(q_1, q_2 ... q_n,t) = 0; i \in [1,m]
verbunden sind. Wie viele generalisierte Koordinaten das System beschreiben, also welchen Zahlenwert der Index n hat, muss erst durch die Bestimmung der Freiheitsgrade des Systems ermittelt werden.

Die Bedingungen ai heißen auch Zwangsbedingungen.

Enthält mindestens eine der Bedingungen ai eine oder mehrere Geschwindigkeitskoordinaten (zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinaten), ist also von der Form

a_i(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n,t) = 0

und lassen sich die Geschwindigkeitskoordinaten nicht durch Integration eliminieren, so ist das System nicht-holonom.

Beispiel für ein nicht-holonomes System

Rad in Ebene (Draufsicht)

Das Rad eines Fahrzeuges rollt ohne zu Gleiten auf einer ebenen Fläche. Die Unabhängigkeit der Koordinaten x, y und φ ist durch die nicht-integrable Bedingung

\dot{x} \cos \varphi + \dot{y} \sin \varphi=0

eingeschränkt.

Während jede Konstellation des Systems mit den beliebig gewählten Koordinaten x, y und φ zulässig ist (3 Freiheitsgrade "im Großen"), gibt es beim Übergang von einer Konstellation zur infinitesimal benachbarten eine Einschränkung durch obige nicht-holonome Bedingung. Es existieren "im Kleinen" nur 2 Freiheitsgrade.

Noch deutlicher wird dieser Umstand, wenn der Sachverhalt auf ein vierrädriges Fahrzeug mit Vorderradlenkung übertragen wird: Auch wenn eine Parklücke ausreichend Platz für das Fahrzeug bietet, kann es unmöglich sein, hineinzugelangen.

Siehe auch


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