Holonomie

Holonomie

Der mathematische Begriff der Holonomiegruppe eines Zusammenhangs eines Vektor- oder Hauptfaserbündels über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (abgekürzt auch einfach Holonomie) bezeichnet in der Differentialgeometrie die Gruppe linearer Transformationen, die durch den Paralleltransport von Vektoren entlang geschlossener Kurven induziert wird. Trägt eine Mannigfaltigkeit M eine Riemannsche Metrik, so ist deren Holonomiegruppe durch diejenige des Levi-Civita-Zusammenhangs auf dem Tangentialbündel von M gegeben.

Bedeutung in der Physik

Holonomiegruppen spielen eine große Rolle in der theoretischen Physik, sowohl in der Quantenfeldtheorie (siehe Wilson-Loop), als auch im Besonderen in der Stringtheorie. Hier ist die Holonomiegruppe von kompakten sechs- und siebendimensionalen Mannigfaltigkeiten von Interesse, da bei einer Kompaktifizierung der Theorie auf diesen Räumen die Anzahl der erhaltenen Supersymmetrie von der maximalen Anzahl kovariant konstanter Spinoren abhängt, welche wiederum von der Holonomie bestimmt wird. Mannigfaltigkeiten von besonderem Interesse sind sechsdimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten mit SU(3)-Holonomie, sowie siebendimensionale Mannigfaltigkeiten mit G2-Holonomie.

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