Hausdorff-Dimension


Hausdorff-Dimension

Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein.

Inhaltsverzeichnis

Vereinfachte Definition

Die folgende Darstellung ist eine vereinfachte Definition der Hausdorff-Dimension für eine Punktmenge endlicher Ausdehnung in einem dreidimensionalen Raum. Dazu betrachtet man die Anzahl N der Kugeln mit dem Radius R, die mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese Mindestanzahl ist eine Funktion N(R) des Radius R. Je kleiner der Radius ist, umso größer ist N. Aus der Potenz von R, mit der N(R) für den Limes R gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension D und zwar nach

 N(R) \sim \frac{1}{R^D}

und damit

 D = -\lim_{R \rightarrow 0} \frac{\log(N)}{\log(R)}

Anstelle von Kugeln können ebenso gut Würfel oder vergleichbare Objekte verwendet werden. Bei Punktemengen in der Ebene können auch Kreise zur Überdeckung verwendet werden. Bei Punktmengen in mehr als drei Dimensionen müssen entsprechend höherdimensionale Kugeln verwendet werden.

Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum Kugelradius. Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension D = 1. Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielsweise ein Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln dagegen proportional zu 1/R2. Es gilt daher D = 2.

Für den Spezialfall eines geometrischen Objekts, welches aus n disjunkten Teilobjekten besteht, die im Maßstab 1:m verkleinerte Kopien des Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension D = log(n)/log(m). Haben die n Teilobjekte verschiedene Größe, so ist D durch 1/m(1)D + 1/m(2)D + ... + 1/m(n)D = 1 definiert, wobei 1/m(i) die einzelnen Maßstäbe sind (i = 1, ..., n). Man spricht in diesen Fällen auch von Ähnlichkeits-Dimension. Beispiele für die Ähnlichkeits-Dimension:

  1. Ein Quadrat setzt sich aus 9 Quadraten von 1/3 Größe zusammen, seine Hausdorff-Dimension ist D = \tfrac{\log{9}}{\log{3}} = 2
  2. Die Koch-Kurve, ein Fraktal, besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:3 verkleinerten Kopien der Gesamtkurve. Es ergibt sich nach D = \tfrac{\log{4}}{\log{3}} = 1{,}2618595... eine nicht-ganzzahlige Dimension.

Es ist jedoch zu beachten, dass diese vereinfachte Definition sich nicht generell mit der exakten Definition (s. u.) deckt. Beispielsweise bei einer Kochkurve mit räumlich variierender Iterationstiefe oder Ähnlichem kann die so definierte Dimension von der tatsächlichen Hausdorff-Dimension abweichen.

Für eine numerische Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer gegebenen Punktmenge lässt sich der so genannte Boxcounting-Algorithmus verwenden. Aber auch hier gilt das nur, solange die Hausdorff-Dimension mit der Boxcounting-Dimension übereinstimmt, was in Spezialfällen nicht zutrifft. Bei einer Einbettung in einen zweidimensionalen Raum überdeckt man die Menge mit einem lückenlosen regelmäßigen Raster aus Quadraten und ermittelt die Zahl der Quadrate, die Punkte aus der Menge enthalten, in Abhängigkeit von der Kantenlänge. Eine numerische Extrapolation der obigen Definitionsgleichung für die Kantenlänge gegen Null liefert näherungsweise die Hausdorff-Dimension.

Definition über das Hausdorff-Maß

Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension dim Xeiner beschränkten Teilmenge X\subset\mathbb R^n erfolgt über das Hausdorff-Maß Hs, das dieser Menge zu jeder Dimension s\geq0 zugeordnet wird. Danach ist die Hausdorff-Dimension von X definiert als das Infimum aller s, für die Hs(X) = 0 ist, oder äquivalent dazu als das Supremum aller s, für die H^s(X)=\infty gilt, das heißt

\dim X=\inf\{s\mid H^s(X)=0\}=\sup\{s\mid H^s(X)=\infty\}.

Für festes s haben also Mengen, deren Hausdorff-Dimension kleiner als s ist, das s-dimensionale Maß null, während Mengen größerer Dimension unendliches s-dimensionales Maß haben. Das entspricht der Tatsache, dass beispielsweise eine Strecke als Teilmenge der Ebene das Lebesgue-Maß Null hat.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes betrachte man die Größe

H^s_\varepsilon(X)=\inf\Big\{\sum_{i=1}^\infty d(A_i)^s\Big|X\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i;\; d(A_i)<\varepsilon\Big\}

für beliebige s\geq0 und ε > 0, wobei (Ai) alle Überdeckungen von X durch abzählbar viele Mengen A_1,A_2,\ldots durchläuft, deren jeweilige Durchmesser d(Ai) kleiner als ε sind. Das s-dimensionale Hausdorff-Maß von X ist nun definiert als

H^s(X)=\lim_{\varepsilon\to0}H^s_\varepsilon(X).

Beispiel

Die Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer eindimensionalen Strecke anhand der Menge X=[0,1]\subset\mathbb R erfolgt folgendermaßen:

1. Das Hausdorff-Maß für s > 1:

Für ε > 0 sei die natürliche Zahl Nε so gewählt, dass 1 / Nε < ε gilt. Mit der speziellen Überdeckung
A_i=\left[\frac{i-1}{N_\varepsilon},\frac i{N_\varepsilon}\right] für 1\leq i\leq N_\varepsilon, Ai = {1} für i > Nε
folgt
H^s_\varepsilon(X)\leq N_\varepsilon\cdot\left(\frac1{N_\varepsilon}\right)^s=\left(\frac1{N_\varepsilon}\right)^{s-1}<\varepsilon^{s-1},
also
Hs(X) = 0.

2. Das Hausdorff-Maß für s < 1:

Wegen d(Ai) < ε ist
\sum d(A_i)^s = \sum \frac{d(A_i)}{d(A_i)^{1-s}} > \sum \frac{d(A_i)}{\varepsilon^{1-s}}.
Da die Ai das Einheitsintervall X überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens 1:
{}\geq\frac1{\varepsilon^{1-s}}.
Damit folgt
H^s_\varepsilon(X)\geq\frac1{\varepsilon^{1-s}},
also
H^s(X)=\infty.

3. Das Hausdorff-Maß für s = 1:

Setzt man die beiden Argumente aus dem ersten und zweiten Fall zusammen, dann erhält man H1(X) = 1.

Es ist also dim X = 1.

Literatur

  • Egbert Brieskorn (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis, Vieweg Verlag 1996, ISBN 3-528-06493-5, u.a. Seiten 185 ff.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Hausdorff dimension — In mathematics, the Hausdorff dimension (also known as the Hausdorff–Besicovitch dimension) is an extended non negative real number associated to any metric space. The Hausdoff dimension generalizes the notion of the dimension of a real vector… …   Wikipedia

  • Hausdorff dimension — noun A type of fractal dimension, a real valued measure of a geometric object that assigns 1 to a line segment, 2 to a square and 3 to a cube. Formally, given a metric space X and a subset of X labeled S, the Hausdorff dimension of S is the… …   Wiktionary

  • List of fractals by Hausdorff dimension — A fractal is a geometric object whose Hausdorff dimension ( delta;) strictly exceeds its topological dimension. Presented here is a list of fractals ordered by increasing Hausdorff dimension, with the purpose of visualizing what it means for a… …   Wikipedia

  • Hausdorff — may refer to:* A Hausdorff space, when used as an adjective, as in the real line is Hausdorff. * Felix Hausdorff, the German mathematician that Hausdorff spaces are named after. * Hausdorff dimension, a measure theoretic concept of dimension. *… …   Wikipedia

  • Hausdorff — Hausdorff,   Felix, Pseudonym Dr. Paul Mongré [mɔ̃ gre], Mathematiker, * Breslau 8. 11. 1868, ✝ (Selbstmord) Bonn 26. 1. 1942; veröffentlichte vor seiner Lehrtätigkeit unter dem Pseudonym philosophische Essays und literarische Abhandlungen. 1904… …   Universal-Lexikon

  • Dimension D'un Espace Vectoriel — En mathématiques, la dimension d un espace vectoriel E est le cardinal (c est à dire le nombre de vecteurs) de toute base de E. Elle est parfois appelée la dimension de Hamel ou la dimension algébrique à distinguer d autres types de dimension.… …   Wikipédia en Français

  • Dimension de Hausdorff — En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée… …   Wikipédia en Français

  • Hausdorff — Felix Hausdorff (Fotografie zwischen 1913 und 1921 entstanden) Felix Hausdorff (* 8. November 1868 in Breslau; † 26. Januar 1942 in Bonn) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als Mitbegründer der allgemeinen Topologie und lieferte wesentliche… …   Deutsch Wikipedia

  • Hausdorff-Besikowitsch-Dimension — Die Hausdorff Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und… …   Deutsch Wikipedia

  • Hausdorff-Besikowitsch Dimension — Die Hausdorff Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen, wie beispielsweise Fraktalen, eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und… …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.