- Extremale Graphentheorie
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Die extremale Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht, welche Graphen einer gegebenen Klasse (wie die Klasse der Graphen ohne Hamiltonkreis) einen bestimmten Graphenparameter (wie die maximale Anzahl von Kanten) maximieren oder minimieren.
Ein Ergebnis der extremalen Graphentheorie ist beispielsweise, dass Graphen mit n Knoten, die keinen Kreis der Länge 3 enthalten, höchstens n2 / 4 Kanten besitzen. Das ist ein Spezialfall des Satzes von Pál Turán (1941)[1], der die extremale Graphentheorie begründete:
Satz von Turán: Ein Graph mit n Knoten ohne p-Clique (vollständiger Untergraph mit p Knoten), , hat maximal Kanten.[2]
Definiert man zu einem Graphen H die Zahl ex(n,H) als die maximale Kantenzahl, die ein Graph mit n Knoten und ohne einen zu H isomorphen Untergraphen haben kann, so lässt sich diese Aussage zu
umformulieren, wobei Kp der vollständige Graph mit p Knoten ist. Bezeichnet man mit Cp den Kreisgraphen mit p Knoten, so erhält man als weiteres Beispiel
.
Der Graph, der aus Kp − 1 durch Hinzunahme eines weiteren Knotens und einer Kante entsteht, hat keinen zu Cp isomorphen Untergraphen und Kanten (siehe nebenstehende Zeichnung für p = 6). Die Hinzunahme einer weiteren Kante führt offenbar zu einem zu Cp isomorphen Untergraphen.
Literatur
- Béla Bollobás: Extremal graph theory, Academic Press, London 1978., ISBN 0-12-111750-2
- Frank Harary: Graphentheorie, R. Oldenburg, München 1974, ISBN 3-486-34191-X
Siehe auch
Verweise
- ↑ Turan On an extremal problem in graph theory, Math.Fiz.Lapok, Bd.48, 1941, S.436
- ↑ In Aigner, Ziegler Proofs from the Book, Springer, Kapitel 32, werden fünf Beweise gegeben, unter anderem von Turan und Paul Erdös
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