Satz über rationale Nullstellen

Satz über rationale Nullstellen

Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen.

Sei also f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0 ein Polynom vom Grad n mit einer rationalen Nullstelle x_0=\frac{p}{q} (wobei p,\,q \in \mathbb{Z} teilerfremd sind), dann ist a0 durch p teilbar und an durch q teilbar.

Anmerkungen

Wenn der Leitkoeffizient des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied teilt.

Das Theorem lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit identischen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.

Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).

Beispiele

Das Polynom p(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und -1 die einzigen Teiler des Absolutglieds sind und p(-1)=1\neq 0 und p(1)=7\neq 0 ist.

Aus dem rationalen Polynom p(x)=\tfrac{1}{5}x^3-\tfrac{7}{30}x^2+\tfrac{1}{30} erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom p^{\star}(x)=6x^3-7x^2+1. Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge \{ \pm 1,\pm\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{1}{3},\pm\tfrac{1}{6} \} enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in p(x) oder p^{\star}(x), so erhält man als Nullstellen -\tfrac{1}{3}, 1 und \tfrac{1}{2}. Da p(x) als Polynom vom Grad 3 maximal 3 paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen.

Literatur

Weblinks


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