Jacobi-Operator

Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi, ist ein symmetrischer linearer Operator der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen \ell^2(\mathbb{N}). In diesem Fall ist J: \ell^2(\N) \to \ell^2(\N), \, f \mapsto J\, f durch

 (J\, f)_n = \begin{cases} a_1 f_2 + b_1 f_1, & n=1,\\ a_n f_{n+1} + a_{n-1} f_{n-1} + b_n f_n, & n>1, \end{cases}

gegeben, wobei die Koeffizienten

a_n >0, \quad b_n \in \mathbb{R}

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung Pn(z) der Differenzengleichung

 J\, P_n(z) = z\, P_n(z), \qquad P_1(z)=1,

ist ein Polynom vom Grad n und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor δ1,n gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereich der Mathematik und Physik auf. Der Fall an = 1 ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Jacobi identity — In mathematics the Jacobi identity is a property that a binary operation can satisfy which determines how the order of evaluation behaves for the given operation. Unlike for associative operations, order of evaluation is significant for… …   Wikipedia

  • Carl Gustav Jacob Jacobi — Carl Jacobi Carl Gustav Jacob Jacobi Born December 10, 1804(1804 …   Wikipedia

  • Almost Mathieu operator — In mathematical physics, the almost Mathieu operator arises in the study of the quantum Hall effect. It is given by: [H^{lambda,alpha} omega u] (n) = u(n+1) + u(n 1) + 2 lambda cos(2pi (omega + nalpha)) u(n), , acting as a self adjoint operator… …   Wikipedia

  • Nabla-Operator — Der Nabla Operator ist ein Operations Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla Symbol bezeichnet oder durch (im englischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Toda-Gitter — Das Toda Gitter, benannt nach Morikazu Toda, ist ein einfaches Modell eines eindimensionalen Kristalls in der Festkörperphysik. Es modelliert eine Kette von Teilchen, in der nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, mit der zugehörigen… …   Deutsch Wikipedia

  • Differential geometry of surfaces — Carl Friedrich Gauss in 1828 In mathematics, the differential geometry of surfaces deals with smooth surfaces with various additional structures, most often, a Riemannian metric. Surfaces have been extensively studied from various perspectives:… …   Wikipedia

  • Kugelkoordinate — In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Kugelkoordinatensystem — In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Räumliche Polarkoordinaten — In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Kugelkoordinaten — In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”