Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

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Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis $C(\Q)$ besteht aus den Punkten (x,y) mit rationalen Koordinaten, für die x² + y² = 1 gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen a,b,c gegeben, wobei c die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt $(\tfrac ac,\tfrac bc)$. Ist umgekehrt (x,y) ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten xc,yc,c, wobei c das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von x und y ist.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt (1,0). Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist (x,y) + (t,u) = (xt − uy,xu + yt). Geometrisch ist dies die Winkeladditon, wenn x = cos(α) und y = sin(α), wobei α der Winkel des Radiusvektors (x,y) mit dem Radiusvektor (1,0) im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also (x,y) und (t,u) jeweils mit (1,0) die Winkel α und β bilden, ist deren Summe (xt − uy,xu + yt) der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel α + β im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt (x,y) mit der komplexen Zahl x + yi, so entspricht die Addition in $C(\Q)$ der Multiplikation in $\C$.

Gruppenstruktur

Die Gruppe $C(\Q)$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $C(\Q)$:

$C(\Q) \cong C_2 \oplus \left( \bigoplus_{p\in\mathbb P,\atop p\equiv 1\pmod 4} C_p \right),$

wobei C₂ die durch (0,1) erzeugte Untergruppe ist, und die C_p jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form $\left(\tfrac{a^2-b^2}p, \tfrac{2ab}p\right)$ mit $a,b\in\N, a>b>0, a^2+b^2=p$ erzeugt werden.

Quellen

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. Mathematics Magazine Vol. 69, No. 3 (June, 1996), S. 163–171
• Ernest J. Eckert: The Group of Primitive Pythagorean Triangles. Mathematics Magazine Vol 57 No. 1 (January, 1984), S. 22–26