Einheitskreis


Einheitskreis
Unit circle.svg

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems (Koordinaten (0|0)) der Ebene übereinstimmt.

Inhaltsverzeichnis

Trigonometrische Zusammenhänge

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Liegt ein Punkt P auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel α zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem P vom Mittelpunkt (Ursprung) aus gesehen wird. Für die Koordinaten von P (xp|yp) gilt dann yp = sin α, xp = cos α und yp / xp = tan α

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:

 \sin \alpha= \frac\text{Gegenkathete}\text{Hypotenuse}
 \cos \alpha= \frac\text{Ankathete}\text{Hypotenuse}
 \tan \alpha= \frac\text{Gegenkathete}\text{Ankathete}
 \cot \alpha= \frac\text{Ankathete}\text{Gegenkathete}

Die orientierte Länge der Tangente, die normal auf die x-Achse an den Kreis liegt, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von α.

Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität dargestellt werden:

 e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + i \sin\left( \varphi\right) .

Unit circle angles color.svg

Andere Normen

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der "Einheitskreis" für die Maximumnorm das Quadrat mit den Ecken (\pm 1,\pm 1) und zu den Koordinatenachsen parallelen Seiten. Für die Betragssummennorm ist er ein auf die Spitze gestelltes Quadrat, dessen Ecken auf den Achsen im Abstand 1 zum Ursprung liegen.

Rationale Parametrisierung

Rationale Parametrisierung

Auch ohne Rückgriff auf transzendente Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei t eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch ( − 1,0) und (0,t) mit dem Einheitskreis ist trivialerweise ( − 1,0). Der andere befindet sich bei (\tfrac{1-t^2}{1+t^2},\tfrac{2t}{1+t^2}), und durchläuft, wenn t ganz \R durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt ( − 1,0) wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang t\to\pm\infty erreicht.

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale t = p / q erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel (q2p2,2pq,q2 + p2).

Siehe auch

Weblinks

Wikibooks Wikibooks: Trigonometrie (Schulmathematik) – Lern- und Lehrmaterialien
 Commons: Unit circles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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