Gestreckte Exponentialfunktion

Gestreckte Exponentialfunktion mit β = 5/2 = 2,5 (rot) und β = 2/5 = 0,4 (blau, der Abfall der Funktionswerte erscheint gestreckt). Gewöhnliche Exponentialfunktion mit β = 1 (schwarz) zum Vergleich.

Die als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnete mathematische Funktion ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit einem zusätzlichen Parameter β im Exponenten:

$\phi(t) = e^{-\left( t /\tau \right)^\beta }$

oder, mit α = τ ^{− β}:

$\phi(t) = e^{-\alpha\,t^\beta }$.

In den meisten Anwendungen ist β > 0. Die namengebende Streckung des exponentiellen Abfalls tritt für 0 < β < 1 auf (siehe nebenstehende Abbildung). Für β = 1 erhält man die gewöhnliche Exponentialfunktion.

Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von Rudolf Kohlrausch eingeführt, um die Relaxation der elektrischen Polarisation eines Kondensators mit Glasdielektrikum zu beschreiben^[1]. Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als Kohlrausch-Funktion oder Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion (nach Graham Williams und David C. Watts^[2]) bezeichnet.

Weitere Informationen

Siehe auch

• Weibull-Verteilung

Software

libkww, effiziente Fourier-Transformation der Kohlrauschfunktion.^[3]

Zitierte Literatur

1. ↑ R. Kohlrausch: Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche. In: Annalen der Physik und Chemie Bd. 91, 1854, S. 56–82, 179–214; online (S. 56–82) online (S. 179–214).
2. ↑ G. Williams, D. C. Watts: Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behaviour Arising from a Simple Empirical Decay Function. In: Transactions of the Faraday Society Bd. 66, 1970, S. 80–85; doi:10.1039/TF9706600080
3. ↑ Joachim Wuttke: Fourier Transform of the Stretched Exponential Function: Analytic Error Estimates, Double Exponential Transform, and Open-Source Implementation libkww. Preprint http://arxiv.org/abs/0911.4796.