Zeitentwicklungsoperator

Der Zeitentwicklungsoperator ist ein quantenmechanischer Operator, mit dem sich die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems berechnen lässt. Der quantenmechanische Operator ist eng verwandt mit dem Propagator in der Quantenfeld- oder Vielteilchentheorie. Üblicherweise wird er als U(t,t₀) geschrieben und hat folgende Eigenschaften:

Definierende Eigenschaften:

• Haupteigenschaft: $|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$

damit folgt physikalisch:

• Kontinuität: U(t₀,t₀) = 1
• Schrödinger-Gleichung: $i \hbar\frac{{\rm d} U(t,t_0)}{{\rm d} t}=H(t) U(t,t_0)$

daraus folgende Eigenschaften:

• Unitarität zum Erhalt der Gesamtwahrscheinlichkeit
• Komposition: U(t₂,t₀) = U(t₂,t₁)U(t₁,t₀)

Der infinitesimale Zeitentwicklungs-Operator hat die Form:

$U(t_0+{\rm d}t,t_0)=1-\tfrac{i}{\hbar}H(t_0){\rm d}t$

Ein nichtinfinitesimaler Zeitentwicklungs-Operator kann, je nachdem ob der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und mit sich selbst zu unterschiedlichen Zeiten kommutiert, unterschiedliche Formen annehmen. Im einfachsten Fall ist H unabhängig von der Zeit und es gilt

$U(t,t_0):=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)H\right)$.

Ist H = H(t) zeitabhängig, verallgemeinert man

$U(t,t_0):=T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t H(t^\prime)dt^\prime\right)\right].$

mit dem Zeitordnungs-Operator T.

Herleitung des Zeitentwicklungsoperators

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators U(t) auf einen Zustandsvektor zum Zeitpunkt t₀ = 0 erhält man den Zustandsvektor zum Zeitpunkt t. Im Folgenden wird stets die abkürzende Schreibweise U(t,0) = U(t) verwendet:

$|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H(t)|\psi(t)\rangle$

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t)|\psi(0)\rangle=H(t) U(t)|\psi(0)\rangle$

Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung, formal eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t)=H(t)U(t)$

Zeitunabhängiger Hamiltonoperator

Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator $\tfrac{\partial}{\partial t}H=0$ wird die Operatorgleichung

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t)=H\, U(t)$

durch

$U(t)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}H\mathrm{d}t'\right)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}H\,t\right)$

gelöst.

Infinitesimaler Zeitentwicklungsoperator

Entwickelt man das gerade erhaltene Ergebnis bis zur ersten Ordnung in der Zeit

$U(t+\Delta t,t)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}H\,\Delta t\right)=1-\frac{i}{\hbar}H\,\Delta t$

erhält man für $\Delta t\rightarrow0$ den infinitesimalen Zeitentwicklungsoperator, wobei ab hier der Hamiltonoperator auch explizit zeitabhängig sein kann:

$U(t+\mathrm{d}t,t)=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H(t)\,\mathrm{d}t$

Das Produkt mit seinem adjungierten Operator $U^{\dagger}(t+\mathrm{d}t,t)=\mathrm{1}+\tfrac{\mathrm{i}}{\hbar}H^{\dagger}(t)\mathrm{d}t$ ergibt 1, weil der Hamiltonoperator hermitesch ist $H=H^{\dagger}$. Also ist U(t + dt,t) unitär:

$U(t+\mathrm{d}t,t)U^{\dagger}(t+\mathrm{d}t,t)=1+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\underbrace{\left(H^{\dagger}(t)-H(t)\right)}_{=0,\ (H=H^{\dagger})}\mathrm{d}t+\frac{1}{\hbar^{2}}H(t)H^{\dagger}(t)\underbrace{\left(\mathrm{d}t\right)^{2}}_{=0}=1$

Der vollständige Zeitentwicklungsoperator U(t,0) lässt sich als Produkt infinitesimaler Zeitentwicklungsoperatoren schreiben:

$U(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\,U(t,t-\Delta t)\,U(t-\Delta t,t-2\Delta t)\cdot\cdot\cdot U(2\Delta t,\Delta t)\,U(\Delta t,0)$

$U(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H(t-\Delta t)\Delta t\right)\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H(t-2\Delta t)\Delta t\right)\cdot\cdot\cdot \left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H(\Delta t)\Delta t\right)\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}H(0)\Delta t\right)$

Das Produkt unitärer Operatoren ist ebenfalls unitär, also auch der vollständige Zeitentwicklungsoperator.

Die Aussagen zur Unitarität lassen sich auch in entgegengesetzter Richtung nachvollziehen: Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik fordert, dass die Norm eines Zustands $\| |\psi\rangle\|^{2}=\langle\psi|\psi\rangle$ zeitlich erhalten bleibt. Deshalb muss der Zeitentwicklungsoperator unitär bzw. der Hamiltonoperator hermitesch sein. Mit $|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle$ und $\langle\psi(t)|=\langle\psi(0)|U^{\dagger}(t)$ folgt:

$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)|U^{\dagger}(t)U(t)|\psi(0)\rangle\overset{!}{=}\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle\quad\Rightarrow\quad U^{\dagger}(t)U(t)=1\quad\Rightarrow\quad H(t)=H^{\dagger}(t)$

Zeitabhängiger Hamiltonoperator

Für einen zeitabhängigen Hamiltonoperator schreibt man die Differentialgleichung $\tfrac{\partial}{\partial t}U(t)=\tfrac{1}{\mathrm{i}\hbar}H(t)\, U(t)$ durch Zeitintegration

$\int_{0}^{t}\tfrac{\partial}{\partial t'}U(t')\mathrm{d}t'=U(t)-\underbrace{U(0)}_{=1}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{0}^{t}H(t')\, U(t')\mathrm{d}t'$

in eine Integralgleichung um:

$U(t)=1+\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\, U(t')$

Diese setzt man rekursiv in sich ein:

$U(t)=\underbrace{1}_{U_{0}(t)}+\underbrace{\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')}_{U_{1}(t)}+\underbrace{\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{2}}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\int_{0}^{t'}\mathrm{d}t''\, H(t'')}_{U_{2}(t)}+\ldots$

Man erhält für den Zeitentwicklungsoperator eine Reihe (Dyson-Reihe)

$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty}U_{n}(t)$

dabei ist der n-te Summand:

$U_{n}(t)=\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\int_{0}^{t'}\mathrm{d}t''\, H(t'')\ldots\int_{0}^{t^{(n-2)}}\mathrm{d}t^{(n-1)}\, H(t^{(n-1)})\int_{0}^{t^{(n-1)}}\mathrm{d}t^{(n)}\, H(t^{(n)})$

Im Integranden stehen die früheren Zeiten weiter rechts als die späteren, z.B. gilt stets $t'\geq t''$, da t' die obere Integrationsgrenze bei der t'' Integration ist. Im Allgemeinen vertauschen die Hamiltonoperatoren zu verschiedenen Zeiten nicht miteinander (für t₁ = t₂ vertauschen die Operatoren allerdings miteinander).

$\left[H(t_{1}),H(t_{2})\right]\neq 0$   für   $t_1\neq t_2$

Dies ist der Grund wieso das Ergebnis des zeitunabhängigen Hamiltonoperators nicht einfach übertragbar ist.

Durch Verwendung von Heaviside-Funktionen Θ(t) lassen sich alle Integrationen von 0 bis t ausführen. Dadurch kann nun die Reihenfolge der Integrationen vertauscht werden.

$U_{n}(t)=\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\int_{0}^{t}\mathrm{d}t''\,\ldots\,\int_{0}^{t}\mathrm{d}t^{(n-1)}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t^{(n)}\, H(t')\,\Theta(t'-t'')\, H(t'')\,\Theta(t''-t''')\,\ldots\, H(t^{(n-1)})\,\Theta(t^{(n-1)}-t^{(n)})\, H(t^{(n)})$

Dieser Ausdruck ist invariant bei Vertauschung zweier beliebiger Zeitargumente t⁽ⁱ⁾ und t^(j). Da die Stufenfunktionen für die Zeitordnung im Integranden sorgen, definiert man daran angelehnt den Zeitordnungsoperator T. Dieser sortiert spätere Zeiten nach links. Für zwei verschiedene Operatoren gilt

$T\left[A(t_{1}),B(t_{2})\right]=\Theta(t_{1}-t_{2})A(t_{1})B(t_{2})+\Theta(t_{2}-t_{1})B(t_{2})A(t_{1})=\begin{cases} A(t_{1})B(t_{2}) & \ ,\ t_{1}\geq t_{2}\\ B(t_{2})A(t_{1}) & \ ,\ t_{2}>t_{1}\end{cases}$

und für zwei identische Operatoren gilt:

$\begin{align} T\left[H(t_{1}),H(t_{2})\right] & =\Theta(t_{1}-t_{2})H(t_{1})H(t_{2})+\Theta(t_{2}-t_{1})H(t_{2})H(t_{1}) =\begin{cases} H(t_{1})H(t_{2}) & \ ,\ t_{1}\geq t_{2}\\ H(t_{2})H(t_{1}) & \ ,\ t_{2}>t_{1} \end{cases}\\ & =\sum_{\pi\in S_{2}}\Theta(t_{\pi(1)}-t_{\pi(2)})H(t_{\pi(1)})H(t_{\pi(2)}) \end{align}$

wobei π eine beliebige Permutation der Menge {1,2} ist. Den Zeitordnungsoperator angewandt auf n identische Operatoren ergibt:

$\begin{align} T\left[H(t'),H(t''),\ldots,H(t^{(n)})\right] & =H(t^{\sigma(1)})H(t^{\sigma(2)})\ldots H(t^{\sigma(n)})\quad\text{mit}\quad t^{\sigma(1)}\geq t^{\sigma(2)}\geq\ldots\geq t^{\sigma(n)}\\ & =\sum_{\pi\in S_{n}}\Theta(t^{\pi(1)}-t^{\pi(2)})\cdots\Theta(t^{\pi(n-1)}-t^{\pi(n)})H(t^{\pi(1)})H(t^{\pi(2)})\cdots H(t^{\pi(n-1)})H(t^{\pi(n)}) \end{align}$

dabei ist σ eine spezielle Permutation und π eine beliebige Permutation der Menge $\left\{ 1,2,\ldots,n\right\}$. S_n ist die Gruppe aller Permutationen von n Objekten und heißt symmetrische Gruppe. Diese Gruppe hat genau n! Gruppenelemente, d. h. es gibt n! Möglichkeiten die n Zeitargumente anzuordnen. Nun führen wir in U_n(t) den Zeitentwicklungsoperator ein:

$U_{n}(t)=\frac{1}{n!}\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}T\left[\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\int_{0}^{t}\mathrm{d}t''\, H(t'')\ldots\int_{0}^{t}\mathrm{d}t^{(n-1)}\, H(t^{(n-1)})\int_{0}^{t}\mathrm{d}t^{(n)}\, H(t^{(n)})\right]=\frac{1}{n!}\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}T\left[\left(\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\right)^{n}\right]$

wobei ein Faktor 1 / n! hinzugekommen ist. Dieser erklärt sich dadurch, dass es n! Möglichkeiten gibt eine Zeitordnung einzuführen, wir aber eine spezielle, nämlich $t^{(1)}\geq t^{(2)}\geq\ldots\geq t^{(n-1)}\geq t^{(n)}$, vorher festgelegt haben. Kommutieren die Operatoren zu gleichen Zeiten, aber nicht für verschiedene Zeiten, so können wir unter Verwendung des Zeitordnungsoperators die Reihenfolge der Operatoren beliebig vertauschen, ohne sonst auftretende Kommutatoren berücksichtigen zu müssen. Alle (zu identischen Zeiten kommutierende) Operatoren, auf die der Zeitentwicklungsoperator wirkt, können miteinander kommutiert werden, da der Zeitentwicklungsoperator im Nachhinein die Zeitordnung herstellt.

Den gesamten Zeitentwicklungsoperator erhält man durch Aufsummieren:

$U(t)=\sum_{n=0}^{\infty}U_{n}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}T\left[\left(\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\right)^{n}\right]=T\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{1}{\left(\mathrm{i}\hbar\right)^{n}}\left(\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\right)^{n}\right]=T\left[\exp\left(\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\right)\right]$

$U(t)=T\left[\exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{0}^{t}\mathrm{d}t'\, H(t')\right)\right]$

Für zeitunabhängige H erhält man wieder obige einfache Lösung $U(t)=\exp\left(-\tfrac{i}{\hbar}H\,t\right)$.

Literatur

• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Prentice Hall, 1993. ISBN 978-0201539295