Vandermonde-Matrix


Vandermonde-Matrix

Unter einer Vandermonde-Matrix (nach A.-T. Vandermonde) versteht man in der Mathematik eine Matrix, die eine im folgenden beschriebene spezielle Form hat.

Für ein n-Tupel  (x_1, x_2, \ldots , x_n) reeller Zahlen oder allgemeiner von Elementen in einem Körper ist die Vandermonde-Matrix definiert durch:


V (x_1, x_2, \ldots , x_n) =
\begin{pmatrix}
  1      & x_1    & x_1^2  & \cdots & x_1^{n-1} \\
  1      & x_2    & x_2^2  & \cdots & x_2^{n-1} \\
  1      & x_3    & x_3^2  & \cdots & x_3^{n-1} \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots    \\
  1      & x_n    & x_n^2  & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}

Die Determinante wird auch Vandermonde-Determinante genannt, sie hat den Wert

 \det V(x_1,x_2, \ldots, x_n) = \prod_{n\geq k > j \geq 1} (x_k - x_j) .

Insbesondere ist die Vandermonde-Matrix genau dann regulär, wenn die xi paarweise verschieden sind.

Anwendung: Polynominterpolation

Die Vandermonde-Matrix spielt bei der Interpolation von Funktionen eine wichtige Rolle: Um an den Stützstellen  (x_1, x_2, \ldots , x_n) die Funktionswerte (f_1, f_2, \ldots, f_n) durch ein Polynom vom Grad n − 1 zu interpolieren, muss man das Lineare Gleichungssystem

 
\begin{pmatrix}
  1      & x_1    & x_1^2  & \cdots & x_1^{n-1} \\
  1      & x_2    & x_2^2  & \cdots & x_2^{n-1} \\
  1      & x_3    & x_3^2  & \cdots & x_3^{n-1} \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots    \\
  1      & x_n    & x_n^2  & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_k \\ \vdots \\ a_{n-1}
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_i \\ \vdots \\ f_n
\end{pmatrix}

lösen. Das Interpolationspolynom ist dann  a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} .

Aus der oben genannten Eigenschaft der Determinante folgt insbesondere, dass das Interpolationsproblem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind.

In der Standardbasis der Polynome ist die Matrix allerdings sehr schlecht konditioniert und die Auflösung mit Standardmethoden recht teuer, O(n3), weswegen man andere Darstellungen für die Polynome wählt. Näheres bei Polynominterpolation und unten.

Weitere Eigenschaften

Die Vandermonde-Matrix V aus dem obigen Gleichungssystem diagonalisiert die Begleitmatrix C des Polynoms p(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)=b_0+b_1x+\ldots+b_{n-1}x^{n-1}+x^n, es gilt:

 V^{-1} C V = {\rm diag} (x_1, x_2, \dots, x_n)

Für große Anzahlen n kann man das Gleichungssystem oben auch über den folgenden Zusammenhang lösen, durch den die Inverse der Vandermonde-Matrix eng mit ihrer transponierten verbunden ist. Mit den eingeführten Polynomkoeffizienten bildet man die Hankel-Matrix

H:=\begin{pmatrix}
  b_1     & b_2 & \cdots & b_{n-1} & 1 \\
  b_2     & b_3 & \cdots & 1       & 0 \\
  \vdots  &     & .\cdot               \\ 
  b_{n-1} & 1   &        & 0           \\
  1       & 0   &        &         & 0
\end{pmatrix}

und die Diagonalmatrix D: = diag(p'(xi)). Wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind, ist D regulär. Damit gilt

 VHV^T=D,\quad V^{-1}=HV^TD^{-1}.

Literatur


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