Reguläre Matrix

Reguläre Matrix

Die reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Eine quadratische Matrix A ist invertierbar, wenn eine weitere Matrix B existiert, sodass

A \cdot B = E

gilt, wobei E die Einheitsmatrix bezeichnet. In diesem Fall gilt auch

B \cdot A = E.

Die Matrix B ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu A oder einfach kurz Inverse. Man schreibt üblicherweise
A − 1 für die inverse Matrix zu A.

Invertierbare Matrizen zeichnen sich dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Dies führt dazu, dass ein lineares Gleichungssystem mit einer invertierbaren Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar ist.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt. Die Menge aller invertierbaren n\times n–Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe GLn(K).

Eine Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen wird durch den Begriff der Pseudoinversen ermöglicht.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Definition

Invertierbare Matrizen über einem unitären kommutativen Ring

Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement, und A sei eine n\times n-Matrix mit Einträgen aus R.

Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Invertierbare Matrizen über einem Körper

Es sei K ein Körper (zum Beispiel \mathbb R oder \mathbb C) und A sei eine n\times n-Matrix mit Einträgen aus dem Körper K. Da jeder Körper ein Ring ist, sind alle obigen Aussagen auch hier gültig, lassen sich jedoch vielmals einfacher ausdrücken und zusätzlich noch anders äquivalent umschreiben.

Dann ist A genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt eine Matrix B mit AB = En = BA (wobei En die Einheitsmatrix ist).
  • Die Determinante von A ist ungleich Null.
  • 0 ist kein Eigenwert von A.
  • Für alle b\in K^n existiert mindestens eine Lösung x\in K^n des linearen Gleichungssystems Ax = b.
  • Für alle b\in K^n existiert höchstens eine Lösung x\in K^n des linearen Gleichungssystems Ax = b.
  • Das lineare Gleichungssystem Ax = 0 besitzt nur die triviale Lösung x = 0
  • Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Zeilenvektoren erzeugen Kn.
  • Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Spaltenvektoren erzeugen Kn.
  • Die durch A beschriebene lineare Abbildung K^n\to K^n, x\mapsto Ax, ist injektiv.
  • Die durch A beschriebene lineare Abbildung K^n\to K^n, x\mapsto Ax, ist surjektiv.
  • Die transponierte Matrix AT ist invertierbar.

Berechnung der Inversen einer Matrix

Zur Berechnung der Inversen stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: der Gauß-Jordan-Algorithmus und die Adjunkte. Insbesondere mittels der Adjunkte lassen sich prinzipiell Formeln für Matrizen mit festgelegtem Rang herleiten. Diese sind jedoch zu umfangreich, um effizient eingesetzt werden zu können, so dass nur für 2x2- und 3x3-Matrizen gelegentlich die unten aufgeführten Formeln verwendet werden. In praktischen Anwendungen wird so weit möglich auf die Berechnung der inversen Matrix verzichtet und stattdessen ein lineares Gleichungssystem gelöst.

Um die numerische Qualität von Algorithmen zur Invertierung von Matrizen zu testen, verwendet man die Hilbert-Matrix, da diese vergleichsweise schlecht konditioniert ist.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Die Inverse einer Matrix kann aus der Formel A \cdot A^{-1} = E berechnet werden. Dazu bildet man die Matrix (A | E) und wendet auf diese den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Nach Durchführung des Algorithmus hat man eine Blockmatrix (E | A − 1), aus der man A − 1 direkt ablesen kann.

Beispiel:

Gesucht ist die Inverse zur Matrix

A = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 0\\
    2 & 3 & 0\\
    3 & 4 & 1\end{pmatrix}.

Die Blockmatrix (A | E) lautet


  \left(\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 2 & 0 &  1 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 0 &  0 & 1 & 0 \\
    3 & 4 & 1 &  0 & 0 & 1
  \end{array}\right)
.

Die Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus führt zur Matrix


  \left(\begin{array}{ccc|ccc}
    1 & 0 & 0  & -3 & 2 & 0 \\
    0 & 1 & 0  & 2 & -1 & 0 \\
    0 & 0 & 1  & 1 & -2 & 1
  \end{array}\right)
.

Daraus lässt sich die inverse Matrix direkt ablesen:

A^{-1} = \begin{pmatrix}
    -3 & 2 & 0 \\
    2 & -1 & 0 \\
    1 & -2 & 1
  \end{pmatrix}
.

Adjunkte

Mittels der Adjunkten und der Determinanten einer Matrix berechnet sich deren Inverse nach folgender Formel:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj} (A)

Daraus leiten sich für 2 \times 2- und 3 \times 3-Matrizen die folgenden Formeln ab:

Formel für 2x2-Matrizen

A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{pmatrix}  =
\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{pmatrix}

Formel für 3x3-Matrizen

A^{-1} = \begin{pmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\
\end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
ei - fh & ch - bi & bf - ce \\
fg - di & ai - cg & cd - af \\
dh - eg & bg - ah & ae - bd
\end{pmatrix}

Herleitung der Formel

Die Idee, die Inverse einer Matrix mittels der Adjunkten zu berechnen, leitet sich direkt aus der cramerschen Regel ab. Nach dieser lässt sich das Gleichungssystem

Axi = ei

mit dem i-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite durch

x_i = \begin{pmatrix}\frac{\det\left(A_1^{(i)}\right)}{\det(A)} \\ \frac{\det\left(A_2^{(i)}\right)}{\det(A)} \\ \vdots \\ \frac{\det\left(A_n^{(i)}\right)}{\det(A)}\end{pmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}\det\left(A_1^{(i)}\right)\\\det\left(A_2^{(i)}\right)\\\vdots\\ \det\left(A_n^{(i)}\right)\end{pmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}\tilde a_{1i}\\\tilde a_{2i} \\ \vdots \\ \tilde a_{ni}\end{pmatrix}

lösen. Dabei entsteht die Matrix A_k^{(i)} aus A, indem man die k-te Spalte durch den i-ten Einheitsvektor ersetzt. Deren Determinante ist auf Grund der einfachen Gestalt des Einheitsvektors mit dem Cofaktor \tilde a_{ik} identisch. Es zeigt sich, dass die xi den Spalten der zu A inversen Matrix entsprechen. Dazu multipliziert man beide Seiten des eingangs gezeigten Gleichungssystems von rechts mit dem transponierten i-ten Einheitsvektor e_i^T und bildet die Summe über alle i.

\begin{matrix}
Ax_ie_i^T & = & e_ie_i^T\\
Ax_1e_1^T + Ax_2e_2^T + \cdots + Ax_ne_n^T & = & e_1e_1^T + e_2e_2^T + \cdots + e_ne_n^T\\
A \cdot\left(x_1e_1^T + x_2e_2^T + \cdots + x_ne_n^T\right) & = & E\\
A \cdot \frac{\operatorname{adj} (A)}{\det(A)} & = & E
\end{matrix}

Näherung

Hat eine Matrix A die Eigenschaft

\lim_{k \to \infty} (E - A)^k = 0,

dann ist sie regulär und ihre Inverse kann dann durch folgende geometrische Reihe ausgedrückt werden:[1]

 A^{-1} = \sum_{k = 0}^\infty (E - A)^k.

Besondere Klassen von Matrizen

Es gibt einige Klassen von Matrizen, die auf Grund ihrer Struktur besonders einfach zu invertieren sind. Dazu zählen die Diagonalmatrizen und die Dreiecksmatrizen. Explizite Darstellungen der Inversen existieren für unitäre Matrizen, U^{-1}=U^\ast und für Änderungen vom Rang 1 (Sherman-Morrison-Woodbury-Formel).

Eigenschaften

Ist λ ein Eigenwert der regulären Matrix A mit Eigenvektor \vec x, so ist \frac{1}{\lambda} Eigenwert der inversen Matrix A − 1 ebenfalls zum Eigenvektor \vec x.

Rechenregeln

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar. Es gilt

(A \cdot B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1} .

Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix:

\left(A^T\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^T .

Die Inverse einer Matrix A ist ebenfalls invertierbar. Die Inverse der Inversen ist gerade wieder die Matrix selbst:

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A .

Die Inverse einer Matrix A multipliziert mit einem Skalar k\ne0 ist

\left(kA\right)^{-1} = k^{-1}A^{-1}.

Weblinks

Einzelnachweis

  1. Gilbert Stewart: Matrix Algorithms: Basic decompositions, S. 55, SIAM 1998, ISBN 0898714141

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • reguläre Matrix — neypatingoji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non singular matrix; regular matrix vok. nichtausgeartete Matrix, f; nichtsinguläre Matrix, f; reguläre Matrix, f rus. невырожденная матрица, f; неособенная матрица, f pranc.… …   Fizikos terminų žodynas

  • Matrix — Gitter; Gefüge; Mikrostruktur; Struktur * * * ◆ Ma|trix 〈f.; , trị|zen od. tri|zes od. tri|ces〉 1. 〈Biol.〉 1.1 Mutterboden 1.2 Keimschicht der Haar …   Universal-Lexikon

  • Matrix (Mathematik) — Schema für eine allgemeine m×n Matrix In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural: Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen bzw. mathematischen Objekten, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann (z. B …   Deutsch Wikipedia

  • Quadratische Matrix — In der Mathematik ist eine Matrix (Plural: Matrizen) eine Tabelle von Zahlen oder anderen Größen, die addiert und multipliziert werden können. Matrizen unterscheiden sich von einfachen Tabellen dadurch, dass mit ihnen gerechnet werden kann. Wenn… …   Deutsch Wikipedia

  • Transponierte Matrix — In der Mathematik ist eine Matrix (Plural: Matrizen) eine Tabelle von Zahlen oder anderen Größen, die addiert und multipliziert werden können. Matrizen unterscheiden sich von einfachen Tabellen dadurch, dass mit ihnen gerechnet werden kann. Wenn… …   Deutsch Wikipedia

  • Rang einer Matrix — Der Rang ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu. Übliche Schreibweisen sind rang(f) und rg(f). Selten werden auch die englischen Schreibweisen …   Deutsch Wikipedia

  • Adjunkte Matrix — Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren …   Deutsch Wikipedia

  • Komplementäre Matrix — Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren …   Deutsch Wikipedia

  • Woodbury-Matrix-Identität — Die Woodbury Matrix Identität, benannt nach Max A. Woodbury[1][2] besagt, dass das Inverse einer Rang k Korrektur einer Matrix A als eine Rang k Korrektur von A − 1 ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman Morrison… …   Deutsch Wikipedia

  • Vandermonde Matrix — Unter einer Vandermonde Matrix (nach A. T. Vandermonde) versteht man in der Mathematik eine Matrix, die eine im folgenden beschriebene spezielle Form hat. Für ein n Tupel reeller Zahlen oder allgemeiner von Elementen in einem Körper ist die… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”