Theil-Index

Der Theil-Index^[1] wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt und ist ein statistisches Ungleichverteilungsmaß zur Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.

Mathematik

Die Formel lautet

$T=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\overline{x}} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)$,

wobei x_i das Einkommen der i-ten Person ist. $\overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$ ist das Durchschnittseinkommen und N die Anzahl der Einkommensbezieher. Der erste Ausdruck in der Summe kann als Anteil des einzelnen Einkommensbeziehers an der Summe aller Einkommen aufgefasst werden und der zweite Ausdruck ist der relative Anteil am Durchschnitt. Hätten alle das gleiche Einkommen (also das Durchschnittseinkommen), dann wäre der Index = 0. Hätte nur eine Person das Gesamteinkommen, dann wächst der Index auf ln N an.

Theil leitete den Index aus dem für die Informationstheorie entwickelten Entropie-Maß von Claude Shannon ab. Ist T der Theil-Index und S Shannons Maß, dann gilt

T = ln(N) − S.

Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Demnach kann der Theil-Index als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in m Untergruppen aufgeteilt werden kann und s_k der Einkommensanteil einer Untergruppe k am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt T_k die Ungleichverteilung in der Untergruppe und $\overline{x}_k$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe k. Der Theil-Index T_k ist dann

$T = \sum_{k=1}^m s_k T_k + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}$.

So beschrieben, ist der Theil-Index T_k dann der "Beitrag" der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

Ein populäreres Maß ist der Gini-Koeffizient, aber in den Reichtums- und Armutsberichten des Bundes wird auch der Theil-Index neben dem Gini-Koeffizienten verwendet. Der Gini-Koeffizient ist nicht so zerlegbar wie der Theil-Koeffizient.

Literatur

• Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis In: Econometrica, Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR)

Einzelnachweise

1. ↑ Introduction to the Theil index from the University of Texas