Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus

Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus (blau) und Kosekans Hyperbolicus (rot)

Die Funktionen Kosekans Hyperbolicus (csch) und Sekans Hyperbolicus (sech) sind Hyperbelfunktionen. Sie ergeben sich als Kehrwert von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen


\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x}\\
\operatorname{csch}\ x &= \frac{2}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x}
\end{align}

Eigenschaften

  Sekans Hyperbolicus Kosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty \, ; \, x \ne 0
Wertebereich  0 < f(x) \le 1   - \infty <  f(x) < + \infty \, ; \, f(x)\ne 0
Periodizität keine keine
Monotonie x < 0 streng monoton steigend
x > 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton fallend
x < 0 streng monoton fallend
Symmetrien Spiegelsymmetrie zur y-Achse Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptote  f(x) \to 0 für  x \to \pm \infty  f(x) \to 0 für x \to \pm \infty
Nullstellen keine keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x = 0
Extrema Maximum bei x = 0 keine
Wendepunkte  x = \pm \frac{1}{2} \ln {\left( \frac {3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}\right)} keine

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion sind die entsprechenden Areafunktionen:


\begin{align}
x &= \operatorname{arsech}\ y\\
x &= \operatorname{arcsch}\ y
\end{align}

Ableitungen


\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{sech}\ x &= -{\frac{\sinh x}{\cosh^2 x}}\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \operatorname{csch}\ x &= - \operatorname{csch}\ x \cdot \operatorname{coth}\ x  =  - \operatorname{csch}\ x \cdot\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 x}\\
\end{align}

Integrale


\begin{align}
\int\operatorname{sech}\ x \mathrm dx &= \arctan \left( \sinh x \right) + konst.\\ 
\int\operatorname{csch}\ x \mathrm dx &= \ln \left| \operatorname{tanh}\, \tfrac{x}{2} \right| + konst.
\end{align}

Reihenentwicklungen


\begin{align}
\operatorname{sech}\ x &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(8k + 4)\pi}{(2k+1)^2\pi^2+x^2}\\
\operatorname{csch}\ x &= 1/x + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{2 x}{k^2\pi^2+x^2}
\end{align}

Komplexes Argument


\begin{align}
&\operatorname{sech}(x+\mathrm i y) = \frac{2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \frac{-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}\\
&\operatorname{sech}  (\mathrm i y) = \sec(y)\\
&\operatorname{csch}(x+\mathrm iy) = \frac{2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}\\
&\operatorname{csch}(\mathrm iy) = -\mathrm i\csc (y)
\end{align}

Siehe auch

Weblinks


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