Satz (Mathematik)

Satz (Mathematik)

Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:

  1. Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.
  2. Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.
  3. Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele für Sätze

Im folgenden sind einige einfache Sätze aufgelistet. Der zu verwendende Kalkül ist in Klammern angegeben.

  1. A\lor \neg A. (tertium non datur, Aussagenlogik)
  2. Wenn jeder Mensch sterblich ist und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. (Prädikatenlogik).
  3. Jede nicht-leere Menge besitzt mindestens ein Element. (Mengenlehre)
  4. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. (Euklidische Geometrie)
  5. Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. (archimedische Ordnung, Analysis)
  6. Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist. (Analysis)
  7. Es seien f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} stetig. Dann ist auch f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} stetig. (Analysis)

Aufbau

Formulierung

Obschon ein mathematischer Satz aus einer Aussage beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht V oder A.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im Imperativ formulierte Voraussetzung und die als Aussagesatz formulierte Aussage gegliedert (Beispiel: „Sei V. Es gilt A.“), so dass der Eindruck einer Implikation entsteht.

Besonders im östlichen, deutsch-sprachigen Raum[1] findet sich die folgende Struktur: „Unter der Voraussetzung V gilt die Behauptung(sic!) B.“

Vorsicht: Durch die potentiell irreführende Verwendung des Wortes „Behauptung“ sind Missverständnisse möglich, obwohl eine Behauptung auch umgangssprachlich nicht aus sich allein heraus verständlich wird.

Vorsicht: Durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes können Fehlschlüsse entstehen, da diese Teile im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen.

Beispiele

  1. n \notin \mathbb{N} \quad\vee\quad n \mbox{ ist nicht prim} \quad\vee\quad n=2 \quad\vee\quad n \mbox{ ist ungerade}
  2. „Sei n eine Primzahl. Für n gilt: n=2 \quad\vee\quad n \in 2\cdot\mathbb{N} + 1
  3. Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ (kein Satz im mathematischen Sinne)
  4. Aus der ebenen Geometrie: „Wenn ein echtes Viereck ein Parallelogramm ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.“ (Hierbei bedeutet „echtes Viereck“, dass ausgeartete und überschlagene Vierecke von der Betrachtung ausgeschlossen sind).

Umkehrsatz

Vertauscht man in einem Satz Voraussetzung und Aussage des Satzes, erhält man den zugehörigen Umkehrsatz. Das sind logische Aussagen der Form „Voraussetzung ⇐ Aussage“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden:

  • Wenn der Umkehrsatz kein Satz -also falsch- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes hinreichend, aber nicht notwendig.
  • Wenn der Umkehrsatz ein Satz -also zutreffend- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem Voraussetzung und Aussage des Satzes äquivalent sind (Beispiel: „V gilt, genau dann wenn A gilt“).

Beispiele

  1. Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die Voraussetzung des Satzeses hat geregnet“ ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
  2. Wenn in einem echten Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die Voraussetzung des Satzes ist notwendig und hinreichend. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „Ein echtes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.

Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage

Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in Voraussetzung und Aussage aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.

Die logische Aussage \lnot A \lor \lnot B \lor C lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:

  1. (A \land B) \Rightarrow C − Umkehrsatz: C \Rightarrow (A \wedge B) \quad\equiv\quad (A\vee \neg C) \wedge (B \vee \neg C)
  2. A \Rightarrow (\lnot B \lor C) – Umkehrsatz: (\lnot B \lor C) \Rightarrow A \quad\equiv\quad (A \vee B) \wedge (A\vee \neg C)

Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind.

Einzelnachweise

  1. Informations-Seite der Universität Erlangen: Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Satz von Ceva — Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Dreieckstransversalen, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. In einem Dreieck ABC seien [AD], [BE] und [CF] drei… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Pythagoras — Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist …   Deutsch Wikipedia

  • Satz des Pythagoras — Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist …   Deutsch Wikipedia

  • Satz vom ausgeschlossenen Dritten — Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat. tertium non datur, wörtlich: Ein Drittes ist nicht gegeben, engl. Law of the Excluded Middle) oder Prinzip des zwischen zwei kontradiktorischen Gegensätzen stehenden ausgeschlossenen Mittleren (lat.… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Goodstein — Goodstein Folgen sind spezielle Folgen natürlicher Zahlen. Sie spielen eine Rolle in einem mathematischen Satz, dem Satz von Goodstein. Das Besondere an diesem Satz ist, dass er sich zwar mit den Mitteln der Peano Arithmetik formulieren, aber… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Sperner — Der Satz von Sperner ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher der diskreten Mathematik zugerechnet wird. Er wurde von Emanuel Sperner im Jahr 1928 veröffentlicht. Der Satz behandelt den engen Zusammenhang zwischen den Antiketten der Potenzmenge… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Dilworth — Der Satz von Dilworth (nach Robert Palmer Dilworth) ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl der Ordnungstheorie als auch der Diskreten Mathematik zuzuordnen ist. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Ketten und Antiketten in einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Schur — Der Satz von Schur liefert in der diskreten Mathematik Aussagen, wie groß eine Zahlenmenge [1,s(r)] sein muss, damit für jede beliebige r Färbung dieser stets eine einfarbige Lösung existiert. Dieser Satz war ursprünglich ein Hilfssatz in einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Sarkovskii — Der Satz von Sarkovskii ist ein Satz der Mathematik, der eine wichtige Aussage über die möglichen Perioden bei der Iteration einer stetigen Funktion macht. Ein Spezialfall des Satzes ist die Aussage, dass ein stetiges dynamisches System auf der… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Bolzano-Weierstraß — Der Satz von Bolzano Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis. Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1.1 Erste Fassung 1.2 Zweite Fassung 2 …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”