Radikal (Mathematik)

In der mathematischen Disziplin der Algebra gibt es verschiedene Bedeutungen des Wortes Radikal.

In der Ringtheorie

Primradikal

Es sei R ein Ring mit Einselement. Der Durchschnitt über alle Primideale von R heißt das Primradikal von R. Es ist das kleinste Semiprimideal und ein Nilideal.

Im Fall eines kommutativen Ringes stimmt es mit dem Nilradikal (s.u.) überein.

Kommutativer Fall: Radikal eines Ideales und Nilradikal

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und $\mathfrak{a} \subset R$ ein Ideal in R. Dann bezeichnet man mit

$\sqrt{\mathfrak{a}} := \{x \in R \mid \exists r \in \Bbb N: x^r \in \mathfrak{a}\}$

das Radikal von $\mathfrak{a}$. Teilweise wird dieses auch mit $r(\mathfrak a)$ oder mit $\mathfrak r (\mathfrak a)$ bezeichnet.^[1] Es ist ein Ideal in R.

Ein Ideal, das mit seinem Radikal identisch ist, nennt man Radikalideal. Jedes Semiprimideal ist ein Radikalideal.

Das Nilradikal oder nilpotente Radikal eines Ringes R ist $\sqrt{(0)}$, also die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes. Teilweise wird es auch mit nil(R) oder mit $\mathfrak N_R$ bzw. mit $\mathfrak n_R$ bezeichnet.^[2][3] Es ist gleich dem Primradikal, also dem Schnitt aller Primideale. Ist das Nilradikal das Nullideal, d.h. ist die Null das einzige nilpotente Element, so heißt der Ring reduziert.

Jacobson-Radikal

Der Schnitt aller maximalen Linksideale eines Ringes wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Auflösung eines Polynoms durch Radikale

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich mit der Auflösung von Polynomen in Radikale, also in Faktoren x − a, wobei a einen Ausdruck beschreibt, der lediglich durch rationale Zahlen, mittels der vier Grundrechenarten sowie unter Verwendung von Wurzeln darstellbar sein muss.

In der Gruppentheorie

Das Radikal einer Gruppe ist der größte auflösbare Normalteiler.

In der Zahlentheorie

Das Radikal einer ganzen Zahl ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren; dies ist eine multiplikative Funktion. Eine wichtige Bedeutung spielen Radikale in der abc-Vermutung. Beispielsweise hat die Zahl 324 das Radikal 6, da $\mathrm{rad}(324)=\mathrm{rad}(2^2 \cdot 3^4)=2 \cdot 3 =6$.

In der Theorie der Lie-Algebren

Das Radikal einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra ist das größte auflösbare Ideal.

Literatur

• Ringtheorie:
  • M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-00361-9.
  • Martin Isaacs: Algebra, a graduate course. 1. Auflage. Brooks/Cole Publishing Company, 1993, ISBN 0534190022.
  • Hideyuki Matsumura: Commutative ring theory. 2. Auflage. Cambridge University Press, 1989.

Einzelnachweise

1. ↑ Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 8
2. ↑ Isaacs: Algebra, a graduate course. S. 420
3. ↑ Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 5