Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p} \subseteq R$ Primideal oder prim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist, also $\mathfrak{p} \neq R$, und wenn für alle Ideale $\mathfrak{a, b} \subseteq R$ gilt^[1]:

Aus $\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}$ folgt $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$ oder $\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.$

Außerdem heißt $\mathfrak{p}$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus $ab \in \mathfrak{p}$ folgt $a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}.$

Äquivalente Definitionen

• Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus (für alle $r \in R$ gilt $arb \in \mathfrak{p}$) folgt ($a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}$).

• Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring $R/\mathfrak{p}$ nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings R heißt Spektrum von R und wird mit Spec(R) notiert.

Eigenschaften

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen R mit Einselement gilt:

• Ein Element $p \in R\backslash\left\{0\right\}$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von p erzeugte Hauptideal (p) ein Primideal ist.^[2]
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt $\bigcap \mathfrak{a}_i$ von Idealen, so enthält es auch ein $\mathfrak{a}_i$.
• Ein Ideal $\mathfrak{p} \subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge $S=R\setminus \mathfrak{p}$ multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach $\mathfrak{p}$, worunter man den Ring S ^{− 1}R versteht, den man auch als $R_\mathfrak{p}$ schreibt.^[3]

Beispiele

• Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge $6\mathbb{Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb{Z}$, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Ein maximales Ideal $\mathfrak{m}\subseteq R$ eines Ringes R ist genau dann prim, wenn $RR \nsubseteq \mathfrak{m}$. Insbesondere ist $\mathfrak{m}$ prim, falls R ein Einselement enthält.
• Das Nullideal $(0)\subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn R ein Integritätsbereich ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
2. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN= 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
3. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, §4, Beispiel d) hinter Satz 3.5