Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Begriff aus der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes R ist die Menge aller Primideale in R, in Zeichen $\mathrm{Spec}(R)=\{ \mathfrak p | \mathfrak p \subseteq R \text{ mit } \mathfrak p \text{ Primideal} \}$. Er bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Für einen Ring R ist das Spektrum Spec R ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

• Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von R.
• Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen

D(f) = {P ∈ Spec R | f ∉ P}

für Elemente f von R gegeben ist.

• Die Schnitte der Strukturgarbe O_{Spec R} über D(f) sind gleich der Lokalisierung R_f. Insbesondere ist

Γ(Spec R, O_{Spec R}) = R.

Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

Beispiele

• Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
• Spec Z besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen S; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus S enthalten.
• Der n-dimensionale affine Raum über einem Ring R ist das affine Schema Spec$R[x_1,\ldots,x_n]$. Ist R = k ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum kⁿ (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).

Eigenschaften

• Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe O_Spec R in einem Punkt P ist der lokale Ring R_P.
• Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
• Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus $\varphi:A\to B$ ist $\operatorname{Spec}(\varphi)\colon\operatorname{Spec}(B)\to\operatorname{Spec}(A)$ stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
• Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form Spec(φ) für einen Ringhomomorphismus φ.

Siehe auch

• Spektrum (Operatortheorie)