- Quotientenkriterium
-
Das Quotientenkriterium (d’Alembert-Kriterium, nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.
Inhaltsverzeichnis
Beschreibung
Gegeben sei eine unendliche Reihe mit reellen oder komplexen Summanden für alle . Gibt es einen Index n0 und ein q < 1, so dass für alle n > n0
so ist die Reihe absolut konvergent. Gibt es dagegen einen Index n0, sodass für alle n > n0
so ist die Reihe divergent.
Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich , kann also beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.
Beweisidee
Der Fall der Konvergenz folgt mit dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz von , einer geometrischen Reihe. Das Kriterium für Divergenz folgt daraus, dass die Glieder dann wegen keine Nullfolge bilden können.
Ein Beispiel für die Nichtanwendbarkeit des Quotientenkriteriums ist die allgemeine harmonische Reihe . Es gilt
- .
Für α = 1 ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für α > 1 konvergent; das Quotientenkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.
Spezialfälle
Existiert , so liefert das Quotientenkriterium
- für L < 1 absolute Konvergenz,
- für L > 1 Divergenz,
- für L = 1 keine Konvergenzaussage.
Unter Verwendung von Limes superior und Limes inferior lässt sich das Quotientenkriterium folgendermaßen formulieren:
- Ist , so ist die Reihe absolut konvergent,
- ist , so ist die Reihe divergent,
- ist , so lässt sich keine Konvergenzaussage machen.
Im Gegensatz zum Wurzelkriterium muss für das Divergenzkriterium nicht der Limes superior, sondern der Limes inferior verwendet werden.
Abgewandeltes Quotientenkriterium
Neben dem „gewöhnlichen“ Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen (siehe auch Kriterium von Raabe): Sei eine Folge mit echt positiven Gliedern. Wenn nun
- ,
so gilt, dass konvergent ist.
Ist andererseits
- ,
so folgt:
- divergiert gegen .
Anwendungen
Mit dem Quotientenkriterium lässt sich beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen für die Exponentialfunktion und für die Sinus- und Kosinusfunktionen zeigen.
Literatur
- Otto Forster: Analysis I Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Rowohlt, Hamburg 1976.
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, 1996, ISBN 3-540-59111-7 (online, Ausgabe von 1964).
- Peter Hartmann: Mathematik für Informatiker. 4. Auflage. Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-0096-1, S. 254.
Weblinks
- Mathematik-Online-Lexikon (Definition und Beweis)
Kategorien:- Folgen und Reihen
- Satz (Mathematik)
Wikimedia Foundation.