Potenzgesetz (Statistik)

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion!

Potenzgesetze (engl. power laws) gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene als polynomielle Abhängigkeiten zweier Größen y und x in der Form $y=a\cdot x^b + ...\,.$ Dabei ist a der Vorfaktor und b der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch + ... angedeuteten Zusatzterme sind vernachlässigbar. Im Allgemeinen ist a irrelevant, d.h. man interessiert sich nur für den Exponenten des Potenzgesetzes.

Solche Potenzgesetze treten in vielen Zusammenhängen auf, zum Beispiel beim exponentiellen Wachstum von Städten:

Beispiele

Die Qualität, eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion zu nähern, zeigt sich bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung. Die Funktion ist eine Gerade, ihre Steigung der Exponent. Ein Beispiel findet sich im Artikel Pareto-Verteilung.

Exponentielles Wachstum von Städten

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt t eine exponentiell wachsende Größe:

n(t) = e^νt

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt t_i gegründeten Stadt zum Zeitpunkt t sei ebenso exponentiell wachsend

$k_i=e^{\mu (t-t_i)} \;\;\; (\in [1,\infty[)$ .

Für die Ausdehnung k_i der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

$P[k_i(t) < k] = P[e^{\mu (t-t_i)} < k]$

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus

$P[k_i(t) < k] = P[\mu(t-t_i) < \ln{k}] = P[t-t_i < \ln{k^{1/\mu}}] = 1 - P[t_i \leq t - \ln{k^{1/\mu}}]$

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t, dass eine zufällige Stadt, i, vor einem gewählten Zeitpunkt t₀ gegründet worden ist, beträgt

$P_t[t_i < t_0]= \frac{n(t_0)}{n(t)} = \frac{e^{\nu t_0}}{e^{\nu t}}=e^{\nu (t_0-t)}$

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze t₀ = t − ln k^{1 / μ}), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

$P[k_i(t) < k] = 1 - e^{\nu (t - \ln{k^{1/\mu}} - t)} = 1-e^{\ln{k^{-\nu/\mu}}} = 1 - \frac{1}{k^{\nu/\mu}}$

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

$p(k) = a\cdot k^{-(1+\nu/\mu)} \;,\;\;\; k \in [1,\infty[$

d.h. mit $b=-1-\mu /\nu\,.$

Siehe auch

• Pareto-Verteilung
• Zipfsches Gesetz, Lotkas Gesetz
• Allometrie, Potenz
• Lewis Fry Richardson

Literatur

• Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21-87
• Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ Press, Cambridge 1922
• Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), 1169–1174
• Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison Wesley, Cambridge, MA 1949