Monotonie (Logik)

Monotonie ist eine Eigenschaft einer Ableitbarkeitsrelation bzw. einer Inferenzoperation und besagt, dass die Hinzunahme weiterer Prämissen immer die bisherigen Folgerungen bewahrt.

Formale Definition

Sei $\vdash$ eine Ableitbarkeitsrelation. $\vdash$ ist monoton gdw. gilt

Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$, dann $\Gamma \cup \Delta \vdash \mathrm{A}$

Alternativ: Sei Cn eine Inferenzoperation. Cn ist monoton gdw. gilt

Wenn $\Gamma \subseteq \Delta$, dann $Cn(\Gamma) \subseteq Cn(\Delta)$

Erläuterung

Die Eigenschaft der Monotonie besagt, dass, wenn eine bestimmte Aussage aus einer Menge von Annahmen folgt, diese Aussage immer noch folgt, wenn weitere Annahmen hinzugenommen werden. Zum Beispiel folgt aus der Annahmenmenge

{"Peter hat Kummer.", "Wenn Peter Kummer hat, trinkt er."}

die Aussage

"Peter trinkt".

Diese Aussage sollte dann immer noch folgen, wenn wir als weitere Prämisse "Peter ist Österreicher." hinzunehmen. Aus

{"Peter hat Kummer.", "Wenn Peter Kummer hat, trinkt er.", "Peter ist Österreicher"}

folgt also ebenfalls

"Peter trinkt."

Diskussion

Monotonie gilt für den klassischen aussagenlogischen und prädikatenlogischen Ableitbarkeitsbegriff, sowie für viele weitere Logiktypen, wie beispielsweise Modallogik. Dennoch ist auch Kritik an der Monotonie als genereller Eigenschaft von Folgerungsverhältnissen laut geworden. Die Kritiker können in zwei Gruppen unterteilt werden.

Nicht-Monotone Folgerungsverhältnisse

Die Kritik entzündet sich an der Beobachtung, dass Folgerungen im Alltag oft nicht-monotonen Charakter haben. Erfahren wir beispielsweise, dass Tux ein Vogel ist, so könnten wir schlussfolgern, dass Tux fliegen kann. Erfahren wir dann jedoch, dass Tux ein Pinguin ist, so würden wir nicht mehr schließen, dass Tux fliegen kann, da wir wissen, dass Pinguine nicht fliegen können. Aus

{"Tux ist ein Vogel."}

scheint also zu folgen

"Tux kann fliegen",

während aus

{"Tux ist ein Vogel.", "Tux ist ein Pinguin."}

sicherlich nicht folgt

"Tux kann fliegen", sondern eher

"Tux kann nicht fliegen".

Die Kontroverse kann bis zu einem gewissen Grade dadurch aufgelöst werden, dass man zwischen Schlussfolgerungen, die mit 100%iger Sicherheit gelten und solchen, die nur bis zu einem bestimmten Grade wahrscheinlich sind, unterscheidet. Aus {"Peter hat Kummer.", "Wenn Peter Kummer hat, trinkt er."} folgt mit 100%iger Sicherheit "Peter trinkt". (Damit wird natürlich nicht gesagt, dass es sicher ist, dass Peter trinkt. Es wird nur gesagt, dass, wenn diese beiden Prämissen wahr sind, dann auch die Konklusion wahr sein muss - oder eine der Prämissen ist eben doch nicht wahr.) Es gilt aber nicht mit derselben Sicherheit, dass wenn es wahr ist, dass Tux ein Vogel ist, er dann auch fliegen können muss. Tux könnte ein Pinguin sein, Tux könnte sich einen Flügel gebrochen haben, es lassen sich viele Situationen konstruieren, in denen die Prämisse wahr ist die Konklusion jedoch falsch.

Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass man für Folgerungsverhältnisse im Alltag, die oft nicht mit absoluter Sicherheit gelten, keine Monotonie annehmen sollte. Um dieser Intuition gerecht zu werden, wurden so genannte "nicht-monotone Logiken" gestaltet. Die Kritik betrifft aber nicht Folgerungen in der Mathematik und in anderen formalen Wissenschaften, da dort immer mit absoluter Sicherheit geschlossen wird.

Der Relevanz-Gesichtspunkt

Auch diese Kritik orientiert sich zum Teil an alltäglichen Folgerungshandlungen. Betrachten wir hierzu noch einmal obiges Beispiel mit Peter, dem bekümmerten Trinker aus Österreich. Nehmen wir an, jemand würde zu uns sagen: "Wir wissen drei Dinge: Peter hat Kummer, wenn Peter Kummer hat, trinkt er und Peter ist Österreicher. Also wissen wir auch, dass Peter trinkt.". Dann würden wir zu Recht fragen: "Was hat das, dass er trinkt, damit zu tun, dass er Österreicher ist?". Noch offenkundiger wird das Problem, wenn wir die irrelevante Prämisse "Peter ist Österreicher" ersetzen durch "Gras ist Grün". Wir wären sicher höchst irritiert, wenn uns jemand erklärt, dass daraus, dass Peter Kummer hat, daraus, dass er bei Kummer trinkt, und daraus, dass Gras grün ist, folgt, dass Peter trinkt.

Die Kritik besagt also in aller Kürze, dass die Hinzunahme irrelevanter Prämissen nicht erlaubt ist, und dass deswegen Monotonie keine universelle Eigenschaft von Schlussfolgerungen ist. Logiken, die dieser Intuition gerecht werden wollen, heißen Relevanzlogiken.

Ein Verteidiger der Monotonie-Eigenschaft könnte gegen die Kritik folgendes einwenden: Die Tatsache, dass Folgerungen mit irrelevanten Prämissen im Alltag so selten vorkommen, hat eher praktische Gründe. Die Leute können Atem und Zeit sparen, wenn sie irrelevante Annahmen vermeiden, und kommen doch an ihr (Argumentations-)Ziel. Warum also solche Prämissen aufführen. Argumente mit irrelevanten Prämissen sind also aus dieser Sicht selten und ungewöhnlich, aber sie sind deswegen nicht falsch.