Minkowski-Kompaktum

Der Banach-Mazur-Abstand, benannt nach Stefan Banach und Stanisław Mazur, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachräume. Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Räumen und wird besonders für endlich-dimensionale Räume verwendet.

Motivation und Definition

Sind $(E,\|\cdot\|_E)$ und $(F,\|\cdot\|_F)$ zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine stetige, lineare Abbildung $T:E\rightarrow F$. Für die Operatornorm von T gilt $1 = \|{\mathrm id}_E\| = \|T^{-1}\circ T\| \le \|T^{-1}\|\cdot \|T\|$. Daher ist

$\delta(E,F) := \inf \{\|T^{-1}\|\cdot \|T\|;\, T:E\rightarrow F\,\, Isomorphismus\}$

eine Zahl $\ge 1$, die misst, wie weit die Räume $(E,\|\cdot\|_E)$ und $(F,\|\cdot\|_F)$ davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen $(E,\|\cdot\|_E)$ und $(F,\|\cdot\|_F)$. Sind E und F nicht isomorph, so ist $\delta(E,F)=\infty$.

Es gelten folgende einfache Regeln:

1. $\delta(E,E)\,=\,1$; allgemeiner $\delta(E,F)\,=\,1$, falls E und F isometrisch isomorph sind,
2. $\delta(E,F)\,=\,\delta(F,E)$ für normierte Räume E und F,
3. $\delta(E,F)\le\delta(E,G)\cdot \delta(G,F)$ für normierte Räume E,F und G.

Daraus ergibt sich, dass sich $\log\circ \delta(\cdot,\cdot)$ wie eine Metrik verhält, wobei log irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus. Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.

Bemerkungen

Der Banach-Mazur-Abstand δ(E,F) hängt vom zu Grunde liegenden Grundkörper, $\R$ oder $\C$, ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.

Aus $\delta(E,F)\,=\,1$ folgt im Allgemeinen nicht, dass E und F isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pelczynski und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für $i\in\{0,1\}$ folgende Normen auf c₀ definiert:

$\|x\|_i := \sup_{j\in \N}|x(j)| + (\sum_{j=1}^\infty 2^{-2j}|x(j+i)|^2)^{\frac{1}{2}}$

Setzt man $E_i := (c_0,\|\cdot\|_i)$, so kann man zeigen, dass E₀ strikt konvex ist, E₁ aber nicht; daher können E₀ und E₁ nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man

$T_n: E_0\rightarrow E_1:\quad (x(1),x(2),\ldots) \mapsto (x(n),x(1),\ldots,x(n-1),x(n+1),\ldots)$,

so ist $T_n:E_0\rightarrow E_1$ ein Isomorphismus und es ist $\lim_{n\to\infty} \|T_n^{-1}\|\|T_n\| = 1$, also gilt δ(E₀,E₁) = 1.

Dieses Beispiel muss notwendiger Weise unendlich-dimensional sein, denn für zwei endlich-dimensionale Räume E und F kann man zeigen, dass δ(E,F) = 1 genau dann gilt, wenn E und F isometrisch isomorph sind.

Minkowski-Kompaktum

Es sei ${\mathcal Q}_n$ die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomophie ist eine mit $\sim$ bezeichnete Äquivalenzrelation auf ${\mathcal Q}_n$. Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge $Q_n := {\mathcal Q}_n/\sim$ induziert und dass $(Q_n, \log \circ \delta)$ ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum. Auch wenn δ keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von δ, so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich δ verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.

Es bezeichne $\ell_p^n$ den $\R^n$ mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht $\delta(E,\ell_1^n) \le n$ für alle $E\in {\mathcal Q}_n$: Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis (e_i,e_i')_i von E. Für $T:\ell_1^n\rightarrow E,\, T((t_i)_i):=\sum_{i=1}^nt_ie_i$ gilt dann $T^{-1}x\,=\,(e_i'(x))_i$ und daher $\|T\|=1$ und $\|T^{-1}\|\le n$, woraus $\delta(E,\ell_1^n) \le n$ folgt.

Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung $\delta(E,\ell_2^n) \le \sqrt{n}$ für alle $E\in {\mathcal Q}_n$. Daraus folgt sofort

$\delta(E,F) \le \delta(E,\ell_2^n)\cdot \delta(\ell_2^n, F) \le \sqrt{n}^2 = n$ für alle $E,F\in {\mathcal Q}_n$.

Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums $\le n$. E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal n abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel

$\delta(\ell_p^n,\ell_q^n) = n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}$ falls $1\le p\le q \le 2$ oder $2\le p\le q \le \infty$.

Für den Fall $1\le p < 2 < q\le \infty$ kennt man folgende Abschätzung:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\max\{n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}}, n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \} \le \delta(\ell_p^n,\ell_q^n) \le \frac{1}{\sqrt{2}-1}\max\{n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}}, n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \}$.

Quellen

• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser Boston (2007), ISBN 978-0-8176-4367-6
• Nicole Tomczak-Jaegermann: Banach-Mazur-Distances and Finite Dimensional Operator Ideals, Pitman monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 38 (1988) ISBN 0470209828