Minifloat

Als Minifloats bezeichnet man Zahlen in einem Gleitkommaformat mit nur wenigen Bits. Minifloats sind für numerische Rechnungen nicht geeignet, werden jedoch gelegentlich für Spezialzwecke oder in der Ausbildung eingesetzt.

Minifloats mit 16 Bit werden auch als halbgenaue Zahlen (als Gegensatz zu einfach und doppelt genauen Zahlen) bezeichnet. Es gibt auch Minifloats mit 8 Bit und weniger. Viele Minifloats werden nach den Prinzipien der IEEE 754-Norm definiert und enthalten spezielle Werte für NaN und unendlich. Normalisierte Zahlen sind dann mit einem Exzess-Exponenten gespeichert. In der überarbeiteten Norm IEEE 754-2008 sind binäre Minifloats mit 16 Bit enthalten.^[1]

Der Standard G.711 zur Kodierung von Audiodaten von ITU-T, der in Audiodateien des Typs .au und für Telefonverbindungen eingesetzt wird, benutzt bei der sogenannte A-law-Codierung 1.3.4-Minifloats um eine vorzeichenbehaftete 13-Bit-Ganzzahl als 8-Bit-Wert darzustellen.

Minifloats werden auch in der Computergraphik zur Darstellung ganzer Zahlen verwendet. Werden gleichzeitig die IEEE 754-Prinzipien zugrundegelegt, so muss die kleinste denormalisierte Zahl gleich eins sein. Daraus ergibt sich der zu verwendende Exzess-Wert (Bias). Das folgende Beispiel demonstriert die Herleitung sowie die zugrundeliegenden Prinzipien.

Beispiel

Ein Minifloat in einem Byte (8 Bit) mit 1 Vorzeichenbit, 4 Exponentenbits und 3 Mantissenbits (kurz: eine (1.4.3.-2)-Zahl; die Klammer enthält alle IEEE-Parameter) soll zur Darstellung ganzer Zahlen nach IEEE 754-Prinzipien konstruiert werden. Dazu muss im Wesentlichen der Biaswert sinnvoll festgelegt werden. Der (noch) unbekannte Exponent (gespeicherter Wert e - Biaswert b) wird vorläufig mit x bezeichnet. Zahlen in anderen Systemen werden mit ...() gekennzeichnet: 5 = 101(2) = 10(5). Das Bitmuster wird durch Leerzeichen in seine Bestandteile gegliedert.

Darstellung der Null

0 0000 000 = 0

Denormalisierte Zahlen

Die Mantisse wird mit 0. ergänzt:

0 0000 001 = 0.001(2) * 2^x = 0.125 * 2^x = 1 (kleinste denormalisierte Zahl)
...
0 0000 111 = 0.111(2) * 2^x = 0.875 * 2^x = 7 (größte denormalisierte Zahl)

Normalisierte Zahlen

Die Mantisse wird mit 1. ergänzt:

0 0001 000 = 1.000(2) * 2^x = 1     * 2^x = 8 (kleinste normalisierte Zahl)
0 0001 001 = 1.001(2) * 2^x = 1.125 * 2^x = 9
...
0 0010 000 = 1.000(2) * 2^(x+1) = 1     * 2^(x+1) = 16 = 1.6e1
0 0010 001 = 1.001(2) * 2^(x+1) = 1.125 * 2^(x+1) = 18 = 1.8e1
...
0 1110 000 = 1.000(2) * 2^(x+13) =  1.000 * 2^(x+13) =  65536 = 6.5e4
0 1110 001 = 1.001(2) * 2^(x+13) =  1.125 * 2^(x+13) =  73728 = 7.4e4
...
0 1110 110 = 1.110(2) * 2^(x+13) =  1.750 * 2^(x+13) = 114688 = 1.1e5
0 1110 111 = 1.111(2) * 2^(x+13) =  1.875 * 2^(x+13) = 122880 = 1.2e5 (größte Normalisierte Zahl)

(Die Darstellungen rechts berücksichtigen die Genauigkeit, denn natürlich kann man mit drei Bit keine fünf oder sechs Stellen speichern.)

Unendlich

0 1111 000 = unendlich

Der numerische Wert von unendlich ohne die IEEE 754 Interpretation wäre

0 1111 000 = 1.000(2) * 2^(x+14) =  2^17 = 131072 = 1.3e5 (numerischer Wert von unendlich)

Nichtzahlen

0 1111 xxx = NaN

Der numerische Wert der größten NaN ohne die IEEE 754 Interpretation wäre

0 1111 111 = 1.111(2) * 2^(x+14) =  1.875 * 2^17 = 245760 = 2.5e5 (numerischer Wert von NaN)

Herleitung

Wenn die kleinste denormalisierte Zahl gleich eins sein soll, muss nach der zweiten Zeile x = 3 sein. Daraus folgt ein Exponenten-Bias (Exzess-Wert) von -2. Vom gespeicherten Exponent muss jeweils -2 subtrahiert werden (+2 addiert werden), um zum rechnerischen Exponenten x zu kommen.

Diskussion dieses Beispiels

Graphische Darstellung der ganzzahligen (1.4.3.-2)-Minifloats. Ein Klick auf das Bild bringt eine hochaufgelöste Version des Bildes. Auf der geladenen Seite findet sich weiter unten ein Link auf eine Version mit noch höherer Auflösung (300 dpi).

Der Vorteil solcher ganzzahliger Minifloats in einem Byte ist der wesentlich größere Wertebereich von -122880 ... 122880 gegenüber Darstellungen im Zweierkomplement mit -128 .. 127. Dafür sinkt die Genauigkeit rapide ab, da stets nur 4 signifikante Bitstellen existieren. Dementsprechend groß sind die Lücken im Bereich der größten normalisierten Zahlen.

Diese Minifloat-Darstellung kann nur 242 verschiedene Zahlen darstellen (sofern man +0 und -0 als verschieden ansieht), da es 14 verschiedene Bitmuster gibt, die keine Zahl darstellen (NaN).

Interessant ist die Übereinstimmung der Bitmuster von Minifloatzahlen und Integer-Zahlen zwischen 0 und 16. Erst das Bitmuster 00010001 wird als Minifloat 18, jedoch als Integerzahl 17 interpretiert.

Für negative Zahlen stimmt diese Übereinstimmung jedoch nicht mehr, da negative Integer-Zahlen üblicherweise im Zweierkomplement repräsentiert werden.

Deutlich kann man an der (senkrechten) reellen Zahlenachse auf der rechten Seite der Graphik die variierende Dichte der Gleitkommazahlen erkennen - eine charakteristische Eigenschaft aller Gleitkommasysteme. Diese variierende Dichte bedingt den exponentialfunktionsartigen Verlauf der Graphik.

Obwohl auch viele Informatiker gefühlsmäßig glauben, dass die Kurve stetig differenzierbar ist, erkennt man deutlich die "Knicke" an den Stellen, an denen jeweils der Exponentenwert wechselt. Solange der Exponent konstant bleibt, sind die nur durch unterschiedliche Mantissen dargestellten Gleitkommazahlen sogar linear verteilt - zwischen zwei "Knicken" ist die Kurve eine Gerade. Natürlich liegt nicht einmal eine Kurve vor, da Gleitkommazahlen lediglich eine diskrete endliche Menge von Punkten darstellen. Die Aussage bezieht sich also auf eine möglichst gut durch die endliche Punktmenge interpolierte Kurve. In der Praxis liegen normalerweise so viele Punkte vor, dass sie für den Betrachter wie eine stetige Kurve wirken (bei double sind es 2⁶⁴, also etwa 10¹⁹ Punkte).

Arithmetik mit Minifloats

Addition

Darstellung der Addition mit (1.3.2.3)-Minifloats. Für eine hochaufgelöste Version Bild klicken. Dort steht ein Link auf eine DIN-A4-Druckversion mit 300 dpi.

Die Graphik demonstriert die Addition zweier noch kleinerer (1.3.2.3)-Minifloats mit 6 Bit. Bei diesem Modell werden reelle Zahlen nach allen IEEE-754-Prinzipien dargestellt. Ein NaN-Operand oder Inf-Inf resultiert in einem NaN-Ergebnis. Inf kann ohne Änderung (mit endlichen Werten) vergrößert oder verkleinert werden. Auch endliche Summen können unendliches Ergebnis haben (14.0+3.0). Der endliche Bereich (Operanden und Ergebnis ist endlich) wird durch die Linien mit x+y=c dargestellt, wobei c immer einer der darstellbaren Minifloatwerte ist.

Subtraktion, Multiplikation und Division

Die restlichen arithmetischen Operationen kann man ähnlich darstellen:

• 

  Subtraktion

• 

  Multiplikation

• 

  Division

Wie mit allen Multiplikationen mit Gleitkommazahlen lassen sich ca. 25 Prozent der Ergebnisse nicht im Zahlenformat der Operanden darstellen.

Weblinks

• http://oss.sgi.com/projects/ogl-sample/registry/ARB/half_float_pixel.txt Minifloats für graphische Zwecke mit 16 Bit

Einzelnachweise

1. ↑ IEEE 754-2008: Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE Standards Association, 2008, doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935