Archimedische Spirale

Archimedische Spirale - mit konstantem Windungsabstand

Die Archimedische Spirale (auch arithmetische Spirale genannt) ist die einfachste aller Spiralen. Sie entsteht, wenn bei einer Drehbewegung der Radius proportional zum Drehwinkel wächst, das heißt es gilt $r=a\cdot \varphi$ mit Radius r, Drehwinkel $\varphi$ und $a\geq 0$.

Eigenschaften

Archimedische Spirale - mit Parametern

Eine besondere Eigenschaft der archimedischen Spirale ist ihr konstanter Windungsabstand, der $a\cdot 2 \cdot \pi$ beträgt. Die Darstellung als Parameterkurve in kartesischen Koordinaten lautet:

$f:\varphi \mapsto (r\cdot\cos\varphi, r\cdot\sin\, \varphi ) = (a\cdot \varphi\cdot\cos\,\varphi ,a\cdot \varphi\cdot\sin\,\varphi )$.

Die Länge eines Bogenstücks von φ₁ bis $\varphi_2$ ist

$\frac{a}{2}\left[\varphi\cdot\sqrt{1+\varphi^2}+\ln\left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}\right)\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}$

oder kurz: $\frac{a}{2}\left[\varphi\cdot\sqrt{1+\varphi^2}+\mathrm{arsinh}\,\varphi\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}$

Die Gesamtlänge der Spirale von φ₁ = 0 bis φ₂ = φ ist folglich

$\frac{a}{2}\left[\varphi\cdot\sqrt{1+\varphi^2}+\ln \left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2} \right)\right].$

Die Fläche, die bei der ersten Umdrehung eingeschlossen wird, ist

$\frac{4}{3}\pi^3a^2,$

während bei der n-ten Umdrehung die Fläche

8(n − 1)π³a²

zusätzlich eingeschlossen wird.

Historisches

Archimedes beschrieb die nach ihm benannte Spirale 225 v. Chr. in seiner Abhandlung „Über Spiralen“, sie war allerdings schon vorher seinem Freund und Zeitgenossen Konon von Samos bekannt, der als ihr Entdecker gilt. Im 4. Jahrhundert n. Chr. wurde sie von Pappos untersucht. Die allgemeine Bestimmung der Spirallänge gelang Isaac Barrow 1670.

Verallgemeinerungen

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der ursprünglich von Archimedes beschrieben Spirale, für die in der Literatur auch oft archimedische Spiralen als Sammelbegriff verwendet wird. Hierbei wird die ursprüngliche Gleichung $r=a\cdot \varphi$ zu $r=a\cdot \varphi^\frac{1}{d}$ mit $d\in\mathbb{R}$ erweitert. Für d = 1 erhält man wieder die gewöhnliche Spirale des Archimedes, d = 2 wird auch als fermatsche Spirale bezeichnet. Generell können sich diese Spiralen in Eigenschaften und Aussehen deutlich von der ursprünglichen archimedischen Spirale unterscheiden und insbesondere besitzen sie keinen konstanten Windungsabstand.

Anwendungen

Lakritzschnecken in Form einer archimedischen Spirale

Schallplatten als Anwendung archimedischer Spiralen

Viele Speichermedien verwenden das Prinzip der archimedischen Spirale, so Rollen sich Speicherbänder (z.B. Audio- und Videokassetten) in Form einer Spirale auf. Spuren auf Schallplatten oder CDs sind ebenfalls in Form einer archimedischen Spirale angeordnet, dies ermöglicht es dem Lesekopf ohne Unterbrechung durch einen Spurwechsel beliebig viele Daten linear zu lesen.

Literatur

• Matthias Richter: Grundwissen Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2001, ISBN 3-519-00413-5, S. 173 (eingeschränkte Online-Version (Google Books))

Weblinks

 Commons: Archimedische Spirale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Maximilian Löber: Spiralen, Facharbeit (PDF-Datei; 579 kB)
• Archimedean Spiral auf PlanetMath (engl.)
• Eric W. Weisstein: Archimedean spiral. In: MathWorld. (englisch)
• Spiral of Archimedes. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)