Metrischer Tensor der Ebene

Das folgende Beispiel definiert den Metrischen Tensor der Ebene und zeigt, wie hiermit Abstände in der Ebene berechnet werden können. Etwas kompliziertere Verhältnisse hat man beim Metrischen Tensor der Speziellen Relativitätstheorie.

Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie und die Ebene werden auch als flach bezeichnet.

Im Prinzip kann man in Ebenen und flachen Räumen auf die Verwendung von Differentialen zur Abstandsberechnung verzichten, sie dienen hier nur zur Motivation der analogen Beschreibung in krummlinigen Strukturen.

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Wir wollen, dass unser metrischer Tensor durch das Euklidische Skalarprodukt induziert wird, dass also
$g\left( {\vec x,\vec x} \right) = \left\langle {\vec x,\vec x} \right\rangle$
gilt. Als Basis wählen wir wie gewohnt die Standardeinheitsbasis. In Koordinatenform schreibt sich obige Gleichung dann als
$\sum\limits_{i,j = 1}^2 {g_{ij} x^i x^j } = \left( {x^1 } \right)^2 + \left( {x^2 } \right)^2$
(Wobei die Zahlen innerhalb der Klammern keine Exponenten sondern Indizes sind). In Vereinbarung der Einsteinschen Summenkonvention lässt man dabei für gewöhnlich das Summenzeichen weg und summiert über doppelt vorkommende Indizes:
$g_{ij} x^i x^j = \left( {x^1 } \right)^2 + \left( {x^2 } \right)^2$
Daran sehen wir bereits, dass nur gleiche Indizes vorkommen, wir können die Komponenten unseres Tensors also direkt hinschreiben:
$\begin{array}{l} g_{ij} = \delta _{ij} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {falls\;i = j} \\ 0 & {falls\;i \ne j} \\ \end{array}} \right. \\ \left( {g_{ij} } \right)_{ij} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right) \\ \end{array}$

Gegeben seien nun zwei Punkte in der Ebene, mit $P_0 \left( {x_0^1 |x_0^2 } \right)$ und $P_0 \left( {x_1^1 |x_1^2 } \right)$. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten ist dann definiert als die Länge des verbindenden Vektors
$\Delta \vec x = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\Delta x^1 } \\ {\Delta x^2 } \\ \end{array}} \right): = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1^1 - x_0^1 } \\ {x_1^2 - x_0^2 } \\ \end{array}} \right)$
$\left( {\Delta s} \right)^2 = g\left( {\Delta \vec x,\Delta \vec x} \right) = \left( {\Delta x^1 } \right)^2 + \left( {\Delta x^2 } \right)^2$
Lassen wir $P_1 \to P_0$ gehen, wird sozusagen
$\begin{array}{l} \Delta x^1 \to dx^1 \\ \Delta x^2 \to dx^2 \\ \end{array}$
Und wir erhalten für den „infinitisimalen“ Abstand das Linienelement
$ds^2 = \left( {dx^1 } \right)^2 + \left( {dx^2 } \right)^2$