Metrischer Tensor

Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Bedeutung

Der metrische Tensor g über einem affinen Punktraum A mit reellem Verschiebungsvektorraum V ist eine Abbildung von A in den Raum der Skalarprodukte auf V. D.h. für jeden Punkt $P\in A$ ist

$g(P) : V \times V \to \mathbb{R}$

eine positiv definite, symmetrische Bilinearform .

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass g(P) für einige oder alle Punkte P nur positiv semidefinit ist, d.h. die Forderung der Definitheit

$g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) > 0$ für alle $0 \ne \vec{x} \in V$

wird abgeschwächt zu

$g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) \ge 0$ für alle $\vec{x} \in V$.

Eine solcher Tensor g heißt dann pseudometrischer Tensor.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt P abhängige) Länge

$\|\vec x\|_P=\sqrt{g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right)}$

auf dem Vektorraum V. Analog zum euklidischen Skalarprodukt ist der Winkel $\theta\in[0,\pi]$ im Punkt P zwischen zwei Vektoren $\vec x,\vec y\in V$ durch

$\cos(\theta) = \frac{g(P)(\vec x,\vec y)}{ \sqrt{g(P)(\vec x,\vec x)}\,\sqrt{g(P)(\vec y,\vec y)} }$

definiert.

Koordinatendarstellung

Wenn ein lokales Koordinatensystem (xⁱ) auf V mit Basis (e_i) aus V gewählt wird, schreibt man die Komponenten von g als g_ij(P) = g(P)(e_i,e_j). Unter Verwendung der einsteinschen Summationskonvention ist dann für die Vektoren $\vec x=x^i\vec e_i$ und $\vec y=y^i\vec e_i$

$g(P)\left( \vec{x},\,\vec{y}\right) = g_{ij}(P)\,x^i\,y^j$.

Im Sinne der Kategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen $\varphi:(A,V)\to (B,W)$ natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf (B,W) ein metrischer Tensor auf (A,V) konstruiert werden kann,

$(\varphi^*g)(P)(\vec x,\vec y) =g\bigl(\varphi(P)\bigr)\Bigl(\varphi_*(\vec x),\varphi_*(\vec x)\Bigr)$.

In der Physik wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung g_ij als kovariant bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als

$x^k=A^k{}_i\;\tilde x^i$ bzw. $\tilde x^i=(A^{-1})^i{}_k\; x^k$

gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als

$\tilde e_i=A^k{}_i\;e_k=(A^T)_i{}^k\;e_k$

und es gilt für den metrischen Tensor

$\tilde g_{ij} =g(\tilde e_i,\, \tilde e_j) = (A^T)_i{}^k\,(A^T)_j{}^l\;g_{k,l}.$

Länge von Kurven

Ist eine differenzierbare Kurve $\gamma:[a,b]\to A$ im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt t einen Tangentialvektor

$\vec x(t)=\dot\gamma(t)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\gamma(t)$.

Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge

$L_{[a,b]}(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ g\bigl(\gamma(t)\bigr) \Bigl(\,\vec x(t),\,\vec x(t)\, \Bigr)}\,\mathrm{d}t = \int_a^b \|\dot\gamma(t)\|_{\gamma(t)}\,\mathrm{d}t$

zuordnen.

Linienelement

Der Ausdruck

ds² = g_ijdxⁱdx^j,

wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißt Linienelement. Substituiert man gemäß der Kettenregel

$\mathrm dx^i = \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \mathrm dt$ und $\mathrm dx^j = \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt} \mathrm dt$,

so ergibt sich

$\mathrm ds^2 = g_{ij} \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt} \mathrm dt^2$.

ds ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer Kurvenlänge.

Induzierter Metriktensor

Hat man eine p-dimensionale Untermannigfaltigkeit eines riemannschen Raumes mit der Metrik (g_ij), die mittels der Parameterdarstellung qⁱ = qⁱ(t¹,t²,...,t^p) ($i=1,\dots,n$) gegeben ist (tⁱ, $i=1,\dots,p$ nennt man auch induzierte Koordinaten), und betrachtet man eine Kurve

$t^\alpha=t^\alpha(t),\quad (a\leq t\leq b),\ (\alpha=1,\dots,p)$

auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der Kettenregel

$s=\int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}q^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t$.

Die Größe

$a_{\alpha\beta}:=g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}$

nennt man induzierten Metriktensor. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als

$s=\int_a^b \sqrt{a_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t$.

Beispiele

Euklidischer Raum

In einem euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix

g_ij = δ_ij

gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt $\textstyle \langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n x^i y^i$ gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen. Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten $g_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij},$ wobei $e_1, \dots, e_n$ die Vektoren der Standardbasis sind. Für beliebige Vektoren x = xⁱe_i und y = y^je_j des euklidischen Raums gilt

$g_{ij} \, x^i y^j = \delta_{ij} x^i y^j = \sum_{i = 1}^n x^i y^i.$

Hier wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Für die Kurvenlänge

$L = \int_a^b \sqrt{ \left( \mathrm{d} x \right)^2}$

und den Winkel

$\cos \theta = \frac{\mathbf{u}\,\mathbf{v}} {|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}$

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix J der Einbettung als

g = J^TJ.

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor des Euklidischen Raums wie folgt:

• In Polarkoordinaten (x¹,x²) = (r,θ):

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}$

• In Zylinderkoordinaten (x¹,x²,x³) = (r,θ,z):

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

• In Kugelkoordinaten (x¹,x²,x³) = (r,θ,φ):

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & (r\sin \theta)^2\end{bmatrix}$

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)

→ Hauptartikel: Minkowski-Raum

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand $\mathrm d \mathbf r$ und Zeitspanne $\,\mathrm d t$ als

$\mathrm d s^2 = c^2 \, \left( \mathrm d t \right)^2 \, - \left(\mathrm d \mathbf r \right)^2$

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch $\, x^\mu=(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct,x,y,z)$.

Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in der Quantenfeldtheorie verwendet wird (Signatur -2, also +---)

$\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$.

In einer Konvention, die hauptsächlich in der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird (Signatur +2, also -+++), schreibt man

$\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der metrische Tensor ortsabhängig und bildet daher ein Tensorfeld, da die Krümmung der Raumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.