Metamathematik

Metamathematik

Metamathematik ist die mathematische Betrachtung der Grundlagen der Mathematik.

Im Jahre 1920 stellte der Mathematiker David Hilbert die Forderung auf, die Mathematik auf die Grundlage eines vollständigen und widerspruchsfreien Axiomensystems zu stellen. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik).

Das Hilbert-Programm schien zu scheitern, seit der Gödelsche Unvollständigkeitssatz zeigte, dass es kein Axiomensystem gibt, welches allen Forderungen Hilberts entspricht. Insbesondere ist es nicht möglich ein formales System zu entwickeln, in dem alle wahren Aussagen auch bewiesen werden können.

Nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen für Teile der Arithmetik durch Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand und Mojżesz Presburger gelang Gerhard Gentzen ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Peano-Arithmetik erster Stufe, wobei er allerdings die so genannte transfinite Induktion benutzte. All diesen Beweisen ist allerdings gemeinsam, dass sie - gemäß dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz - nicht innerhalb der Arithmetik selbst ausgeführt werden konnten.

Über die Entscheidbarkeit gab es wichtige Ergebnisse von Alonzo Church, der die Unentscheidbarkeit der Quantorenlogik aller Stufen zeigen konnte. Der Begriff der Rekursivität ist dem der Berechenbarkeit äquivalent.

Paul Lorenzen führte 1951 einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die verzweigte Typentheorie durch. Dieser Beweis liefert die Widerspruchsfreiheit von Teilen der klassischen Analysis. In seinem 1962 veröffentlichten Buch Metamathematik fasst er die Metamathematik als „Mathematik der Metatheorien“ auf, wobei eine Metatheorie eine (konstruktive oder axiomatische) Theorie über axiomatische Theorien darstellt.

Durch Verwendung der ω-Regel (unendliche Induktion) erhält man einen vollständigen Halbformalismus (K. Schütte) der Arithmetik und so einen Widerspruchsfreiheitsbeweis der konstruktiven Mathematik durch Einbeziehung in den Gentzenschen Hauptsatz.

Siehe auch

Weblinks

Literatur

  • David Hilbert, Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 1968/1970²
  • Paul Lorenzen: Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, Mathematische Zeitschrift (54) 1951
  • P. Lorenzen: Algebraische und Logische Untersuchungen über freie Verbände, The Journal of Sybmolic Logik (16) Providence 1951
  • Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics. Amsterdam Groningen 1952
  • K. Schütte: Beweistheorie. Berlin Göttingen Heidelberg 1960
  • P. Lorenzen: Metamathematik. Mannheim 1962 1980²
  • Wolfgang Stegmüller: Unvollständigkeit und Unendscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Gödel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung, Wien/New York 1973³
  • Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach ein Endloses Geflochtenes Band, ISBN 3-608-94338-2
  • G. Wolters: Metamathematik, Artikel in: Mittelstraß (hrsg.) Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie 2 Mannheim Wien Zürich 1984

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Metamathematik — Me|ta|ma|the|ma|tik 〈f.; ; unz.〉 Bereich der mathemat. Grundlagenforschung, mit der die Mathematik auf Widerspruchsfreiheit in sich selbst untersucht wird * * * Mẹtamathematik,   die Beschäftigung mit der Mathematik, besonders mit dem… …   Universal-Lexikon

  • Metamathematik — Me|ta|ma|the|ma|tik 〈f.; Gen.: ; Pl.: unz.; Math.〉 Bereich der mathemat. Grundlagenforschung, mit der die Mathematik auf Widerspruchsfreiheit in sich selbst untersucht wird …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

  • Metamathematik — Me|ta|ma|the|ma|tik die; <zu ↑meta... u. ↑Mathematik> math. Theorie, mit der die Mathematik selbst (als ↑axiomatische Theorie) untersucht wird …   Das große Fremdwörterbuch

  • Hilbert-Programm — Das Hilbertprogramm ist ein Forschungsprogramm, das der Mathematiker David Hilbert in den 20er Jahren vorschlug. Es zielt darauf ab, mit finiten Methoden die Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mathematik nachzuweisen. Auch wenn sich das… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilberts Programm — Das Hilbertprogramm ist ein Forschungsprogramm, das der Mathematiker David Hilbert in den 20er Jahren vorschlug. Es zielt darauf ab, mit finiten Methoden die Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mathematik nachzuweisen. Auch wenn sich das… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilberts zweites Problem — Das Hilbertprogramm ist ein Forschungsprogramm, das der Mathematiker David Hilbert in den 20er Jahren vorschlug. Es zielt darauf ab, mit finiten Methoden die Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mathematik nachzuweisen. Auch wenn sich das… …   Deutsch Wikipedia

  • Limeszahl — Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man… …   Deutsch Wikipedia

  • Ordinalzahlen — Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man… …   Deutsch Wikipedia

  • Ordnungsisomorphie — Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man… …   Deutsch Wikipedia

  • Ordnungsisomorphismus — Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”