Mathematische Konstante

Eine mathematische Konstante ist eine fest definierte spezielle reelle oder komplexe Zahl, die sich auf natürliche Weise in der Mathematik ergibt. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es auf den reellen oder komplexen Zahlen genau eine differenzierbare Funktion f mit $f^\prime = f$ und f(0) = 1. Folglich ist f(1) eine mathematische Konstante: e. Auf den komplexen Zahlen ist f eine periodische Funktion, und der Betrag ihrer Periode ist eine andere mathematische Konstante: 2π. Mathematische Konstanten sind Elemente des Körpers der reellen oder komplexen Zahlen und lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie zum Beispiel die Brunsche Konstante B₂ = 1,90216058...

Das Gebiet der mathematischen Konstanten wird der Zahlentheorie zugerechnet und ist seit Archimedes bis in die heutige Zeit Forschungsgegenstand. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational, irrational-algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.

Einige wichtige mathematische Konstanten

Symbol	Dezimaldarstellung (OEIS-Link)	Name und Formel	Zahlentyp	Erstmals beschrieben	Zahl bekannter Dezimalstellen	Beschreibung
1	= 1.	Eins	ganz		(∞)	Neutrales Element der Multiplikation
π	= 3,14159 26535 89793 23846… (A000796)	Kreiszahl, Archimedes-Konstante, ludolphsche Zahl	transzendent[1] berechenbar	2000 v. Chr.	5·1012 [2]	Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises
√2	= 1,41421 35623 73095 04880… (A002193)	Quadratwurzel von 2, Konstante von Pythagoras	irrational algebraisch	800 v. Chr.	1012 [2]	Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates; positive Lösung von x2 = 2
√3	= 1,73205 08075 68877 29352… (A002194)	Quadratwurzel von 3, Konstante von Theodorus	irrational algebraisch	800 v. Chr.	1,6·108 [3]	Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels; positive Lösung von x2 = 3
0	= 0.	Null	ganz	um 700 v. Chr. bei den Babyloniern	(∞)	Neutrales Element der Addition
φ, τ	= 1,61803 39887 49894 84820… (A001622)	Goldener Schnitt: $\textstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	irrational algebraisch	250 v. Chr.	1012 [2]	Größenverhältnis, das vielfach näherungsweise in der belebten und unbelebten Natur auftritt; positive Lösung von x2 = x+1
i	= i.	Imaginäre Einheit	komplex algebraisch	um 1540	(∞)	Lösung von x2 = −1
e	= 2,71828 18284 59045 23536… (A001113)	Eulersche Zahl: $\textstyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac1{k!}}$	transzendent[4] berechenbar	1618 1683 [5]	1012 [2]	Basis des natürlichen Logarithmus
γ	= 0,57721 56649 01532 86060… (A001620)	Euler-Mascheroni-Konstante: $\textstyle\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\sum\limits_{k=1}^n\!\frac1{k} - \ln n\Bigr)$		1734 [6]	2,9844·1010 [2]	Fläche zwischen der Hyperbel 1/x und der Treppe 1/⌊x⌋ für x ≥ 1
ζ(3)	= 1,20205 69031 59594 28539… (A002117)	Apéry-Konstante: $\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{k^3}$	irrational[7]	1735 [8]	3,1026·1010 [2]	Wert ζ(3) der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3
EB	= 1,60669 51524 15291 76378… (A065442)	Erdős-Borwein-Konstante: $\textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{2^n-1}$	irrational[9]	1749 [10]	2000 (OEIS)	Summe der Kehrwerte aller Mersenne-Zahlen
μ	= 1,45136 92348 83381 05028… (A070769)	Ramanujan-Soldner-Konstante		1792 [11] 1809 [12]	75.500 [2]	Nullstelle des Integrallogarithmus
ϖ	= 2,62205 75542 92119 81046… (A062539)	Lemniskatische Konstante: $\textstyle 2\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}$	transzendent[13] berechenbar	1798 [14]	1010 [15]	Analogon zu π für die Lemniskate
BL	= 1,08366.	Legendre-Konstante	(rational)	1808 [16]	(5)	aus Legendres Abschätzung x / (ln x − 1,08366) der Anzahl der Primzahlen ≤ x; asymptotisch ist 1 korrekt
	= 0,66274 34193 49181 58097… (A033259)	Grenzwert von Laplace		1827 [17]	500 [18]	maximale Exzentrizität, für die die Laplace-Reihe zur Lösung der Kepler-Gleichung konvergiert
G	= 0,91596 55941 77219 01505… (A006752)	Catalansche Konstante: $\textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$		1832 [19] 1864 [20]	3,1026·1010 [2]	Wert β(2) der Dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2
M₁	= 0,26149 72128 47642 78375… (A077761)	Meissel-Mertens-Konstante: $\textstyle\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\!\sum\limits_{p\leq n \atop p\;\text{prim}}\!\!\frac1{p} - \ln\ln n\Bigr)$		1866 [21] 1873 [22]	8010 [2]	Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante
A	= 1,28242 71291 00622 63687… (A074962)	Glaisher-Kinkelin-Konstante: $\textstyle\exp(\frac1{12}-\zeta'(-1))$		1856 [23] 1878 [24]	20.000 [25]	tritt bei der Auswertung von Integralen und Reihensummen auf
C	= 0.64341 05462 88338 02618… (A118227)	Cahen-Konstante: $\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty\!\frac{(-1)^k}{S_k-1}$ mit $\begin{align} & \scriptstyle S_0\,=\,2 \\[-1.5ex] & \scriptstyle S_n = 1 + S_0\,\cdots\,S_{n-1}\end{align}$	transzendent[26] berechenbar	1891 [27]	4000 [28]	transzendente Zahl mit einfachem Bildungsgesetz für die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung
K	= 2,58498 17595 79253 21706… (A062089)	Sierpiński-Konstante: $\pi (2 \gamma + 4 \ln\Gamma(\tfrac{3}{4}) - \ln\pi)$		1907 [29]	5000 (OEIS)	tritt bei der Abschätzung von Summen über τ(n) ƒ(n) auf, wobei τ(n) die Anzahl der Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a2+b2 = n ist
K	= 0,76422 36535 89220 66299… (A064533)	Landau-Ramanujan-Konstante: $\textstyle\frac1{\sqrt{2}}\!\!\!\!\prod\limits_{p\;\text{prim} \atop \equiv 3\;(\text{mod}\;4)}\!\!\!\!\bigl(1-\frac1{p^2}\bigr)^{-1/2}$		1908 [30]	30.010 [2]	die Anzahl der Zahlen ≤ x, die Summe von zwei Quadratzahlen sind, ist ~ K x/√ln(x)
G	= 1,01494 16064 09653 62502… (A143298)	Gieseking-Konstante: $\textstyle\int_0^{2\pi/3}\ln(2\cos(x/2))\,\mathrm dx$			105 (OEIS)	maximales Volumen eines hyperbolischen Tetraeders[31]
β	= 0,28016 94990 23869 13303… (A073001)	Bernstein-Konstante		1913 [32]	50 (OEIS)	der Fehler der besten gleichförmigen Approximation von |x| auf [-1,1] durch Polynome von geradem Grad n ist ~ β/n
B₂	= 1,90216 058… (A065421)	Brunsche Konstante: $\textstyle\sum\limits_{p,\,p+2\;\text{prim}}\!\bigl(\frac1{p} + \frac1{p+2}\bigr)$		1919 [33]	9 [2] unter Hardy-Littlewood-Vermutung u. a.	Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge
Π₂, C₂	= 0,66016 18158 46869 57392… (A005597)	Primzahlzwillingskonstante: $\textstyle\prod\limits_{p>2\atop p\;\text{prim}}\!\!\bigl(1\!-\!\frac{1}{(p-1)^2}\bigr)$		1922 [34]	5020 [2]	die Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ x ist laut Hardy-Littlewood-Vermutung $\textstyle\sim 2\,C_2\int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\ln t)^2}$
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