Linearisierung

Bei der Linearisierung wird eine nichtlineare Funktion oder Differentialgleichung durch eine lineare Funktion oder Differentialgleichungen angenähert. Sie wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen sehr einfach berechnet werden können und die Theorie im Gegensatz zu nichtlinearen Systemen sehr gut ausgebaut ist.

Anwendungen

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur Umwandlung nichtlinearer Systeme in lineare Systeme.

Das Ergebnis der Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem, welches in ein lineares Gleichungssystem überführt werden kann. Bei dynamischen Systemen ist eine Analyse auf der Grundlage linearer Differenzialgleichungen leichter möglich.

Tangente

Tangenten an sinus(x), blau $x_0=0\;$, grün $x_0=\frac{3\cdot\pi}{4}$

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punkt-Richtungs-Gleichung der Geraden)

$y_t = f(x_0) + \frac {df}{dx} \bigg| _{x_{0}} \cdot (x-x_0)$

approximiert die Originalfunktion um den Punkt $x_0\;$. Dabei ist $\frac {df}{dx} \bigg| _{x_{0}}$ der Anstieg im Punkt $x_0\;$.

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

$F(x)=\bigg| \frac{f(x)-y_t(x)}{f(x)} \bigg|$

Für die Funktion $f(x)=\sin (x)\;$ gilt:

$y(x)=\sin (x_0) + \cos (x_0) \cdot (x-x_0)$

Multiplikation

Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition $\Delta y = \Delta x_1 \cdot x_{2,AP} + \Delta x_2 \cdot x_{1,AP}$
(Arbeitspunkte x_1,AP, x_2,AP und y_AP wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich im Signalflussplan eine Multiplikationsstelle lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln. Das der Umwandlung zugrundeliegende Konzept erläutert die nachfolgende Rechnung.

Linearisierung einer Multiplikation im Arbeitspunkt (AP):

$y = x_1 \cdot x_2$

$y = ( \Delta x_1 + x_{1,AP} ) \cdot ( x_{2,AP} + \Delta x_2 )$

$y = x_{1,AP} \cdot x_{2,AP} + x_{1,AP} \cdot \Delta x_2 + x_{2,AP} \cdot \Delta x_1 + \Delta x_1 \cdot \Delta x_2$

Multiplikation durch Addition genähert:

$y \approx x_{1,AP} \cdot x_{2,AP} + x_{1,AP} \cdot \Delta x_2 + x_{2,AP} \cdot \Delta x_1$

Fehler: $e_y = \Delta x_1 \cdot \Delta x_2$

Beispiel:

$x_1=2{,}4;\ x_2=110 \Rightarrow y = x_1 \cdot x_2 = 264$

Wähle: $x_{1,AP} = 2;\ x_{2,AP} = 100 \Rightarrow \Delta x_1 = 0{,}4;\ \Delta x_2 = 10$

$\Rightarrow y \approx 2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 100 \cdot 0{,}4 = 260$

Fehler: $e_y = 0{,}4 \cdot 10 = 4$

Division

Es gilt

$y=\frac{x_1}{x_2}$

und

$y=\frac{x_{1,AP}+\Delta x_1}{x_{2,AP}+\Delta x_2}$

oder

$y=\frac{x_{1,AP} }{x_{2,AP} }\cdot \frac{1+\frac{\Delta x_1 }{ x_1,AP} }{ 1+\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,AP}} }$

Für die Geometrische Reihe gilt

Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan

$\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Mit

$q=-\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,AP}}$ und $\vert q \vert \ll 1$ gilt

$\frac{1}{1+\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}} }\approx 1-\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}}$.

Damit ist die linearisierte Division

$y\approx \frac{x_{1,AP}}{x_{2,AP}} \cdot \left(1+\frac{\Delta x_1}{x_{1,AP}}-\frac{\Delta x_2}{x_{2,AP}}\right)$

Linearisieren gewöhnlicher Differentialgleichungen

Das bekannteste Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differenzialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

$\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\sin(y(t))=0$

Der nichtlineare Teil ist $\sin(y)\;$. Die Tangente daran ist

$y=\sin (y_0) + \cos (y_0) \cdot (y-y_0)$

Mit dem Arbeitspunkt $y_0=0\;$ gilt für kleine $y \;$

$\sin(y) \approx y \;$ und damit die linearisierte Differenzialgleichung

$\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\cdot y(t)=0$.

Weitere Details sind in Zustandsraumdarstellung beschrieben.

Tangentialebene

Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion $f(x_1,x_2)\;$ in einem Punkt $x_{10},x_{20}\;$ linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion $f(x_1,x_2)\;$ gilt in der Umgebung des Punktes x₁₀,x₂₀:

$y = \underbrace{f(x_{10}, x_{20})}_{=const.}+\underbrace {\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_1-x_{10})+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}$

Beispiel:

$f(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2$

ergibt die Tangentialebene

$y=\underbrace{x_{10}\cdot x_{20}}_{=const.} + \underbrace{x_{20}\cdot(x_1-x_{10})+x_{10}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}$

Siehe auch

• Taylor-Reihe
• Taylor-Formel
• Linearität
• Linearisierung von resistiven Sensoren (Elektrotechnik)
• Methode der globalen Linearisierung

Weblinks

• Skript der TU Wien
• Skript der ETH Zürich