Lemma von Nakayama


Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra[1]:

Es sei M ein endlich erzeugter nichttrivialer R-Modul und \mathfrak{a} ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von R liegt. Dann ist \mathfrak{a}M\neq M.

Beweis

Wir nehmen \mathfrak{a}M=M an. Es sei \{u_1, \ldots, u_n\} ein minimales Erzeugendensystem von M. Da M nichttrivial ist, folgt n\ge 1 und u_n \not=0.

Da nach Annahme u_n\in\mathfrak{a}M, gäbe es dann eine Gleichung der Form u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i mit a_i\in\mathfrak{a}, also (1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i.

Da an im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor 1 − an eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

  • Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, N ein Untermodul und \mathfrak{a}\subset J(R) ein Ideal, so gilt
M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird[2], kann man zum Heben von Basen verwenden:

Sind dann x_1, \ldots, x_n Urbilder einer Basis des κ-Vektorraums M/\mathfrak{m}M, so erzeugen die xi den Modul M.

Einzelnachweise

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2

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