Lebesgue-Stieltjes-Integral

In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856-1894). Das Stieltjes-Integral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren

Seien $[a,b] \ne \emptyset$ ein reelles Intervall sowie $f,h\,\!: [a,b] \to \R$ zwei Funktionen, wobei $f\,\!$ beschränkt sei. $h\!\,$ sei (nicht notwendigerweise streng) monoton wachsend. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von $f\!\,$ bezüglich $h\,\!$ auf dem Intervall $[a,b]\!\,$ wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls, Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert, jedoch lauten die Formeln der Ober- und Untersumme bei Stieltjes statt

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Obersumme)

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})$ (Untersumme)

nun:

$\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Obersumme)

$\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\}\cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))$ (Stieltjes-Untersumme)

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen denselben Wert, so heißt $f\!\,$ bezüglich $h\!\,$ auf $[a,b]\!\,$ Riemann-Stieltjes-Integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist:

$\int_a^b f\,\mathrm dh\quad\text{oder}\quad\int_a^b f(t)\,\mathrm dh(t).$

Die Funktion $h\!\,$, auch als Integrator bezeichnet, regelt also, wie stark $f\!\,$ an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezielfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit $h(x)=x\!\,$ für alle $x\!\,$ (Identität) aufgefasst werden.

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion $f(x)\!\,$ selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende Funktion, die fast überall konstant ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Die Definition des Lebesgue-Stieltjes-Integrals fällt nicht schwer, da der monotonen Funktion h ein (fast überall) eindeutiges Maß $\hat h$ auf der Borelschen σ-Algebra $\mathcal B([a,b])$ durch die Vorschrift

$\begin{align} \hat h([x,y[)&:=h(y-)-h(x-),\\ \hat h([x,y])&:=h(y+)-h(x-) \end{align}$

zugeordnet werden kann (ist h die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß). Ist f nun bezüglich dieses Maßes Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

$\int_a^b f\,\mathrm dh:=\int_a^b f\,\mathrm d\hat h,$

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf $[a,b]\,\!$. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also $h\,\!=h_1 - h_2$ mit $h_1\!\,, h_2: [a,b] \to \R$ monoton wachsend. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

$\int_a^b f\,\mathrm dh := \int_a^b f\,\mathrm dh_1 - \int_a^b f\,\mathrm dh_2.$

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung ist.

Eigenschaften

• Falls zu $f\,\!, h\,\!$ und $[a,b]\,\!$ das Riemann-Stieltjes-Integral existiert, so existiert auch das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral und die beiden Werte stimmen überein.

• Die Linearität des Integrals im Integranden bleibt erhalten.

• Weiterhin ist das Stieltjesintegral auch linear im Integrator, also

  $\int_a^b f\,\mathrm d(\alpha g + \beta h) = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dg + \beta \int_a^b f\,\mathrm dh$

für Konstanten $\alpha,\beta \in \R$ und Funktionen $g\,\!,h\,\!$ endlicher Variation.

• Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also

  $\int_a^b f\,\mathrm d(h+c) =\int_a^b f\,\mathrm d(h)$

für Konstanten $c\,\!$.

• Treppenfunktionen als Integratoren: Ist $f\,\!$ stetig und $h\,\!$ eine Treppenfunktion, die in den Punkten $t_1, \ldots, t_n \in\,]a,b[$ Sprünge der Höhe $\Delta h_1, \ldots, \Delta h_n \in \R$ vollführt, so gilt

  $\int_a^b f\,\mathrm dh = \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta h_i.$

• Ist $h\,\!$ differenzierbar, so gilt

  $\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.$

  (Im Lebesgueschen Sinne: $h\!\,'$ ist die Dichte von $\hat h$.)

Literatur

I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Harri Deutsch Thun-Verlag, ISBN 3-87-144-217-8