Lambda-Kalkül

Der Lambda-Kalkül ist eine formale Sprache zur Untersuchung von Funktionen. Sie beschreibt Funktionsdefinitionen, das Definieren formaler Parameter sowie das Auswerten und Einsetzen aktueller Parameter.

Geschichte

Der Lambda-Kalkül wurde von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren eingeführt. Church benutzte ihn, um 1936 sowohl eine negative Antwort auf das Entscheidungsproblem zu geben als auch eine Fundierung eines logischen Systems zu finden, wie es Russells und Whiteheads Principia Mathematica zugrunde lag. Mittels des untypisierten Lambda-Kalküls kann man klar definieren, was eine berechenbare Funktion ist. Die Frage, ob zwei Lambda-Ausdrücke (s. u.) äquivalent sind, kann im Allgemeinen nicht algorithmisch entschieden werden. In seiner typisierten Form kann der Kalkül benutzt werden, um Logik höherer Stufe darzustellen. Der Lambda-Kalkül hat die Entwicklung funktionaler Programmiersprachen, die Forschung um Typsysteme von Programmiersprachen im Allgemeinen sowie moderne Teildisziplinen in der Logik wie die Typtheorie wesentlich beeinflusst.

Meilensteine der Entwicklung waren im Einzelnen:

• Nach der Einführung die frühe Entdeckung, dass sich mit dem Lambda-Kalkül alles ausdrücken lässt, was man mit einer modernen Programmiersprache oder der Turing-Maschine ausdrücken kann. In anderen Worten: Im Sinne des Konzepts der Berechenbarkeit sind die drei gleich mächtig.
• Konrad Zuse hat Ideen aus dem Lambda-Kalkül 1942 bis 1946 in seinen Plankalkül einfließen lassen.
• John McCarthy hat sie Ende der fünfziger Jahre verwendet und damit die minimalen Funktionen der Programmiersprache LISP definiert.
• Die typisierten Varianten des Lambda-Kalküls führten zu modernen Programmiersprachen wie ML oder Haskell.
• Als überaus fruchtbar erwies sich die Idee, Ausdrücke des typisierten Lambda-Kalküls zur Repräsentation von Termen einer Logik zugrunde zu legen, den Lambda-Kalkül also als Meta-Logik zu verwenden. Erstmals von Church 1940 in seiner Theory of Simple Types präsentiert, führte sie einerseits zu modernen Theorembeweisern für Logiken höherer Stufe und …
• andererseits in den 70er und 80er Jahren zu Logiken mit immer mächtigeren Typsystemen, in dem sich z. B. logische Beweise an sich als Lambda-Ausdruck darstellen lassen.
• In Anlehnung an den Lambda-Kalkül wurde für die Beschreibung nebenläufiger Prozesse der Pi-Kalkül von Robin Milner in den 90er Jahren entwickelt.

Der untypisierte Lambda-Kalkül

Motivation

Gehen wir von einem mathematischen Term x + 2 aus, so lässt sich daraus die Funktion bilden, die x auf x + 2 abbildet. Man schreibt auch $x \mapsto x + 2$. Beim Lambda-Kalkül geht es zunächst darum, solche Funktionsbildungen sprachlich zu formalisieren. Im Lambda-Kalkül würde man statt $x \mapsto x + 2$ den Term

• $\lambda x \; . \; x + 2$

schreiben. Man sagt, dass die freie Variable x durch λ-Abstraktion gebunden wird. Zum Vergleich halte man sich vor Augen, dass Variablen-Bindung in der Mathematik auch in anderen Bereichen vorkommen:

• Mengenlehre: {x | Φ(x)}
• Logik: $\forall x \; \Phi(x)$ und $\exists x \; \Phi(x)$

Man kann auch λ-Abstraktion nach einer Variablen vornehmen, die in dem Term gar nicht vorkommt: z.B. $\lambda x \; . \; 2$ . Dieser λ-Ausdruck bezeichnet dann die Funktion, die jedes x auf 2 abbildet. Etwas allgemeiner ist $\lambda x \; . \; y$ die Funktion, die konstant y ist. Abstrahieren wir nun nachträglich noch nach y, so erhalten wir mit $\lambda y \; . \; \lambda x \; . \; y$ eine Formalisierung der Funktion, die jedem Wert y die Funktion zuordnet, die konstant y ist. Der Ausdruck $\lambda y \; . \; \lambda x \; . \; y$ repräsentiert also eine funktionswertige Funktion. Im Lambda-Kalkül lassen sich aber auch Funktionen ausdrücken, deren Argumente bereits Funktionen sind. Nehmen wir die Funktion, die jeder Funktion $\;f$ eine andere Funktion $\;f'$ zuordnet, die so entsteht, dass $\;f$ zweimal angewandt wird. Also wird $\;f'$ durch den λ-Term $\lambda x \; . \; f(f(x))$ dargestellt und die Zuordnung $f \mapsto f'$ durch $\lambda f \; . \; \lambda x \; . \; f(f(x))$ .

Da λ-Terme als Funktionen gesehen werden, kann man sie auf ein Argument anwenden. Man spricht von Applikation und schreibt im Lamdbda-Kalkül eher $f \;x$ statt $\;f(x)$ . Klammern können natürlich Terme gruppieren. Die Applikation als Verbindungsprinzip von Termen ist definitionsgemäß linksassoziativ, d.h. $f\;x\;y$ bedeutet $(f\;x)\;y$ . In der üblichen mathematischen Notation würde man hier $(f\;(x))\;(y)$ schreiben. Wendet man nun ein Argument $\;a$ auf einen Lambda-Term $\lambda x\;.\;\theta$ an, also $(\lambda x\;.\;\theta)\;a$ , so berechnet sich das Ergebnis dadurch, dass in dem Term $\;\theta$ jedes Vorkommen der Variablen $\;x$ durch $\;a$ ersetzt wird. Diese Ableitungsregel nennt man β-Konversion.

Es ist vielleicht aufgefallen, dass λ-Terme eher allgemeine Prinzipien der Mathematik formulieren, und sie bezeichnen nicht so sehr Objekte des üblichen mathematischen Universums. Z.B. formuliert $\lambda x \; . \; x$ das Zuordnungsprinzip der identischen Abbildung doch diese ist immer auf eine gegebene Menge als Definitionsmenge bezogen. Eine universelle Identität als Funktion ist in der mengentheoretischen Formulierung der Mathematik gar nicht definiert. Der Lambda-Kalkül im strengen Sinne ist daher eher als ein Neuentwurf der Mathematik zu sehen, in dem die Grundobjekte als universelle Funktionen verstanden werden, im Gegensatz zur axiomatischen Mengenlehre, wo die Grundobjekte Mengen sind.

Zahlen und Terme wie $\;x + 2$ sind zunächst nicht Bestandteil eines reinen Lambda-Kalküls. Ähnlich wie in der Mengenlehre, wo man Zahlen und Arithmetik allein aus dem Mengenbegriff heraus konstruieren kann, ist es aber auch im Lambda-Kalkül möglich, auf der Basis von $\;\lambda$-Abstraktion und Applikation die Arithmetik zu definieren. Da im Lambda-Kalkül jeder Term als einstellige Funktion verstanden wird, muss eine Addition als die Funktion verstanden werden, die jeder Zahl $\;y$ diejenige (einstellige) Funktion zuordnet, die zu jeder Zahl $\;x$ den Wert $\;y$ addiert. (Siehe Currying.)

Lambda-Terme ohne freie Variablen werden auch als Kombinatoren bezeichnet. Die Kombinatorische Logik (oder Kombinator-Kalkül) kann als alternativer Ansatz zum Lambda-Kalkül gesehen werden.

Formale Definition

In seiner einfachsten, dennoch vollständigen Form gibt es im Lambda-Kalkül drei Sorten von Termen (T), hier in Backus-Naur-Form:

T ::= a (Variable) | (T T) (Applikation) | λa.T (Lambda, auch Abstraktion genannt)

wobei a für ein beliebiges Symbol aus einer mindestens abzählbar-unendlichen Menge von Variablensymbolen (kurz: Variablen) steht. Für praktische Zwecke wird der Lambda-Kalkül üblicherweise noch um eine weitere Sorte von Termen, den Konstantensymbolen, erweitert.

Die Menge der freien Variablen FV kann induktiv über der Struktur der λ-Terme wie folgt definiert werden:

1. FV(a) = {a}, falls der Term eine Variable a
2. FV(T1 T2) = FV(T1) ∪ FV(T2) für Applikationen, und
3. FV(λ a. T) = FV(T)\{a}, falls der Term eine Abstraktion ist, sind seine freien Variablen die freien Variablen von T außer a.

Die Menge der gebundenen Variablen B(T) eines Terms T errechnet sich auch induktiv:

1. B(a) = {}, falls der Term eine Variable a
2. B(T1 T2) = B(T1) ∪ B(T2) für Applikationen, und
3. B(λ a. T) = B(T)∪{a}, falls der Term eine Abstraktion ist, sind seine gebundenen Variablen die gebundenen Variablen von T vereinigt a.

Mittels der Definition von freien und gebundenen Variablen kann nun der Begriff der (freien) Variablensubstitution (Einsetzung) induktiv definiert werden durch:

1. a[x ← T] = a falls Variable x ungleich a
2. a[a ← T] = T
3. (T1 T2)[x ← T] = (T1[x ← T] T2[x ← T])
4. (λ a. T')[a ← T] = (λ a. T')
5. (λ a. T')[x ← T] = (λ a. T'[x ← T]) falls Variable x ungleich a und falls FV(T) disjunkt von B(λ a. T').

Hinweis: x ← T stehe für die Ersetzung von x durch T.

Man beachte, dass die Substitution nur partiell definiert ist; ggf. müssen gebundene Variablen geeignet umbenannt werden (siehe α-Kongruenz im Folgenden), so dass niemals eine freie Variable in einem Substitut durch Einsetzung für eine Variable gebunden wird.

Über der Menge der λ-Terme können nun Kongruenzregeln (hier == geschrieben) definiert werden, die die Intuition formal fassen, dass zwei Ausdrücke dieselbe Funktion beschreiben. Diese Relationen sind durch die sogenannte α-Konversion, die β-Konversion sowie die η-Konversion erfasst.

Kongruenzregeln

α-Konversion

Die α-Konversionsregel formalisiert die Idee, dass die Namen von gebundenen Variablen „Schall und Rauch“ sind; z. B. bedeuten λx.x und λy.y dieselbe Funktion. Allerdings sind die Details nicht ganz so einfach wie es zunächst erscheint: Eine Reihe von Einschränkungen müssen beachtet werden, wenn gebundene Variablen durch andere gebundene Variablen ersetzt werden.

Formal lautet die Regel wie folgt:

λ V. E == λ W. E[V←W]

falls W in E nirgends frei vorkommt und W in E dort nicht gebunden ist, wo es ein V ersetzt. Da eine Kongruenzregel in jedem Teilterm anwendbar ist, erlaubt sie die Ableitung, dass λ x. (λ x. x) x gleich λ y. (λ x. x) y ist.

β-Konversion

Die β-Konversionsregel formalisiert das Konzept der „Funktionsanwendung“. Wird sie ausschließlich von links nach rechts angewandt, spricht man auch von β-Reduktion. Formal lässt sie sich durch

((λ V. E ) E' ) == E [V←E' ]

beschreiben, wobei alle freien Variablen in E' in E [V←E' ] frei bleiben müssen (siehe Nebenbedingung bei der Substitutionsdefinition).

Ein Term heißt „in β-Normalform“, wenn keine β-Reduktion mehr anwendbar ist (nicht für alle Terme existiert eine β-Normalform; siehe Ω). Ein tiefes Resultat von Church und Rosser über den λ-Kalkül besagt, dass die Reihenfolgen von α-Konversionen und β-Reduktionen in gewissem Sinn keine Rolle spielt: wenn man einen Term zu zwei Termen T1 und T2 ableitet, gibt es immer eine Möglichkeit, T1 und T2 jeweils zu einem gemeinsamen Term T3 abzuleiten.

η-Konversion

Die η-Konversion kann optional zum Kalkül hinzugefügt werden. Sie formalisiert das Konzept der Extensionalität, d. h. dass zwei Funktionen genau dann gleich sind, wenn sie für alle Argumente dasselbe Resultat liefern. Formal ist die η-Konversion beschrieben durch:

λ x . f x == f, wenn x nicht freie Variable von f ist.

Anmerkungen

• Nicht für alle Terme existiert eine $\;\beta$-Normalform. Z.B. kann man auf den Term $\;(\lambda x\;.\;x\;x)(\lambda x\;.\;x\;x)$ zwar $\;\beta$-Reduktion anwenden, doch man erhält wieder den gleichen Term als Ergebnis zurück.
• Jeder Term, der die Bedingung der β-Regel erfüllt, wird β-reduzibel genannt.
• Die β-Reduktion ist im Allgemeinen nicht eindeutig; es kann mehrere „Ansatzpunkte“ (β-Redexe) für die Anwendung der β-Regel geben, weil die Regelanwendung in allen Teiltermen möglich ist.
• Wenn mehrere Folgen von β-Reduktionen möglich sind und mehrere davon zu einem nicht-β-reduziblen Term führen, so sind diese Terme bis auf α-Kongruenz gleich.
• Wenn jedoch eine Reihenfolge der β zu einem nicht-β-reduziblen Term (einem Ergebnis) führt, so tut dies auch die Standard Reduction Order, bei der das im Term erste Lambda zuerst verwendet wird.
• Bei der so genannten de-Bruijn-Notation werden die Variablennamen weggelassen. Stattdessen werden Zahlen geschrieben, die die Anzahl der Lambda-Terme zwischen der Variable (also eine Zahl) und dem bindenden Lambda-Ausdruck angibt. Diese Darstellung wird oft in Computerprogrammen verwendet.

Weitere Beispiele

• Wenn man wahr als Abkürzung für λx.λy.x versteht und falsch als Abkürzung für λx.λy.y, dann ist der Term λx.λy.((x y) falsch) eine Möglichkeit (von vielen), die logische Funktion und darzustellen, denn er erfüllt die Forderungen, die man an die Funktion und stellt:
  • ((und wahr) wahr) = (((λx.λy.((x y) falsch)) wahr) wahr) = (wahr wahr) falsch = ((λx.λy.x) wahr) falsch = (λy.wahr) falsch = wahr
  • ((und wahr) falsch) = … = (wahr falsch) falsch = … = (λy.falsch) falsch = falsch
  • ((und falsch) wahr) = (falsch wahr) falsch = ((λx.λy.y) wahr) falsch = (λy.y) falsch = falsch
  • ((und falsch) falsch) = (falsch falsch) falsch = … = (λy.y) falsch = falsch
• Man kann in ähnlicher Weise Zahlen, Tupel und Listen in λ-Ausdrücken codieren (z. B. durch sogenannte Church-Numerale)
• Man kann beliebige rekursive Funktionen durch den Fixpunkt-Kombinator Y (= λ g. (λ x. g (x x)) (λ x. g (x x))) darstellen.

Typisierter Lambda-Kalkül

Die zentrale Idee des typisierten Lambda-Kalküls ist es, nur noch Lambda-Ausdrücke zu betrachten, denen sich ein Typ durch ein System von Typinferenzregeln zuordnen lässt. Das einfachste Typsystem, das von Church 1940 in seiner Theory of Simple Types vorgestellt wurde, sieht die Typen vor, die durch folgende Grammatik in Backus-Naur-Form generiert werden:

$TT ::= \quad I \quad | \quad O \quad | \quad (TT \rarr TT) \qquad (\mbox{Funktionstypen})$

Den Typ I (individuals) kann man sich als Zahlen vorstellen, O wird für boolesche Werte wie True und False verwendet.

Zusätzlich wird eine Umgebung Γ definiert; dies ist eine Funktion, die Variablensymbolen Typen TT zuordnet.

Ein Tripel aus einer Umgebung Γ, einem Ausdruck E und einem Typ T, geschrieben ${\Gamma \vdash E::T}$ wird ein Typurteil genannt.

Nun können die Inferenzregeln Beziehungen zwischen Ausdrücken, ihren Typen und Typurteilen herstellen:

${{} \over \Gamma \vdash v :: \Gamma(v) } \qquad {\rm (Variable)}$

${ \Gamma \vdash t_1 :: (\tau_1 \rarr \tau_2) \quad \Gamma \vdash t_2 :: \tau_1 \over \Gamma \vdash (t_1 t_2) :: \tau_2 }\qquad ({\rm Applikation})$

${ \Gamma[a \mapsto\tau_1] \vdash t :: \tau_2 \over \Gamma \vdash \lambda a. t :: \tau_1 \rarr \tau_2}\qquad ({\rm Abstraktion})$

Hierbei ist ${\Gamma[a \mapsto \tau_1]}$ diejenige Funktion, die an der Stelle a den Typ τ₁ zuordnet, und ansonsten die Funktion Γ ist. (Anders ausgedrückt: Der Parameter a der Funktion ist vom Typ τ₁ und genau diese Information wird der Umgebung hinzugefügt.)

Durch Einführung einer zweiten Umgebung sind auch Konstantensymbole behandelbar; eine weitere wichtige Erweiterung besteht darin, in Typen auch die Kategorie der Typvariablen α,β,γ,etc oder Typkonstruktoren wie Set(α),List(β),etc zuzulassen: so entstehen schon sehr mächtige funktionale oder logische Kernsprachen.

Es ist entscheidbar, ob ein untypisierter Term sich typisieren lässt, selbst wenn die Umgebung Γ unbekannt ist (eine Variante mit Typvariablen und Typkonstruktoren ist Milners Algorithm W).

Die Menge der typisierbaren Ausdrücke ist eine echte Teilmenge des untypisierten Lambda-Kalküls; z. B. lässt sich der Y-Kombinator nicht typisieren. Andererseits ist für typisierte Ausdrücke die Gleichheit zwischen zwei Funktionen modulo α und β Konversionen entscheidbar. Es ist bekannt, dass das Matching-Problem auf Lambda-Ausdrücken bis zur vierten Ordnung entscheidbar ist. Das Unifikationsproblem ist unentscheidbar; allerdings gibt es praktisch brauchbare approximative Algorithmen.

Anwendung in der Semantik

Die Semantik ist dasjenige Teilgebiet der Linguistik, welches die Bedeutung natürlichsprachlicher Ausdrücke analysiert. Die formale Semantik nutzt dazu zunächst einfache Mittel der Prädikatenlogik und Mengenlehre. Diese erweitert man um Grundlagen des Lambda-Kalküls, etwa um mittels Lambda-Abstraktion Propositionen als Eigenschaften zu repräsentieren und komplexere Nominalphrasen, Adjektivphrasen und einige Verbalphrasen darstellen zu können. Grundlage ist etwa eine modelltheoretische semantische Interpretation der intensionalen Logik Richard Montagues.

Siehe auch

• Berechenbarkeitstheorie

Weblinks

• Das gefürchtete Lambda-Kalkül Eine Einführung.
• Einführung in den λ-Kalkül Gute Einführung in den λ-Kalkül (ca. 100 Seiten, als PS- und PDF-Dokument; 727 kB)
• Jim Larson, An Introduction to Lambda Calculus and Scheme. Eine einfache Einführung für Programmierer.
• Shane Steinert-Threlkeld: Lambda Calculi in der Internet Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)

Literatur

• Stephen Kleene: A theory of positive integers in formal logic. In: American Journal of Mathematics. 57, 1935, ISSN 0002-9327, S. 153–173 und 219–244.
• Alonzo Church: An unsolvable problem of elementary number theory. In: American Journal of Mathematics. 58, 1936, S. 345–363.
• Henk P. Barendregt: The lambda calculus. Its syntax and semantics. Revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1984, ISBN 0-444-87508-5 (Studies in logic and the foundations of mathematics 103).
• Guo-Qiang Zhang: Logic of Domains. Birkhäuser, Boston u. a. 1991, ISBN 0-8176-3570-X (Progress in theoretical computer science 4), (Zugleich: Cambridge, Univ., Diss., 1989).
• Roberto M. Amadio, Pierre-Louis Curien: Domains and Lambda-Calculi. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-62277-8 (Cambridge tracts in theoretical computer science 46).
• Samson Abramsky (Hrsg.): Typed Lambda Calculi and Applications. 5th international conference, Kraków, Poland, May 2 – 5, 2001. Proceedings. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-41960-8 (Lecture notes in computer science 2044).