Kugeloberfläche


Kugeloberfläche
Kugelkoordinaten

Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper.

Inhaltsverzeichnis

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl \!\ r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl \!\ r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welcher der beiden Begriffe gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (\!\ x_0, \!\ y_0, \!\ z_0) und Radius \!\ r ist die Menge aller Punkte (\!\ x, \!\ y, \!\ z), für die

\!\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2

erfüllt ist.

In Vektorschreibweise mit \vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \vec{m} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}

 (\vec x - \vec m )^2 = r^2

oder

 |\vec x - \vec m | = r .

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius \!\ r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:

x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi
y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \qquad (0 \le \vartheta \le \pi \ \wedge 0 \le \varphi < 2 \pi)
z = r \cdot \cos \vartheta .

Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten).

Kugelschnitte

  • Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißt die entstehende Schnittlinie Großkreis, wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, andernfalls Kleinkreis.
  • Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).
  • Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
  • Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.
  • Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.
  • Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.
  • Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

Formeln

Siehe auch: Formelsammlung Geometrie.

Formeln zur Kugel
Umfang (Großkreis) U =2 \pi r = \pi d\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr}}
Volumen V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 = \int_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\pi \mathrm dx
Oberfläche A_O = 4 \pi r^2 = \pi d^2\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr}}
Projektionsfläche A_\mathrm{PF} = \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr
Volumen eines Kugelsegments V_\mathrm{KS} = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)
Flächeninhalt einer Kugelkalotte A_\mathrm{KK} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)
Mantelfläche eines Kugelschnitts A_\mathrm{KS} = 2 \pi r h  = 2 \pi r^2 \int_\alpha^\beta \sin x\,\mathrm dx
Kugelradius \!\ r
Höhe (Kugelsegment/-kalotte) \!\ h
Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) J = \frac{2}{3} mr^2
Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt) J = \frac{2}{5} mr^2
Öffnungswinkel \!\ \alpha

Volumen

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Begründung

Herleitung des Kugel-Volumen nach Cavalieri

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius \!\ r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius \!\ r und Höhe \!\ r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius \!\ r und Höhe \!\ r herausnimmt. Zu beachten ist: Das \!\ h in der Zeichnung ist nicht identisch mit dem in der Formel zur Volumenberechnung des Kugelsegments.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand \!\ h haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius \!\ s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

s^2 + h^2 \, = \, r^2.

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

A_1 \, = \, \pi s^2 = \pi (r^2 - h^2) = \pi r^2 - \pi h^2.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius \!\ r und Innenradius \!\ h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

A_2 \, = \, \pi r^2 - \pi h^2.

Für einen beliebigen Abstand \!\ h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren.

V_\mathrm{Zylinder} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3
V_\mathrm{Kegel} = \frac{1}{3} \pi h r^2 = \frac{1}{3} \pi r^3
V_\mathrm{Halbkugel} = V_\mathrm{Vergleichsk\ddot{o}rper} \, = \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

V_\mathrm{Kugel} \, = \, 2 \cdot V_\mathrm{Halbkugel} = \frac{4}{3} \pi  r^3.

Alternative Herleitung

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe \!\ r zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter oben) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden: V=\frac{Ar}{3} = \frac{(4 \pi r^2)r}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand \!\ x:

s = \sqrt{r^2 - x^2}.

Kreisfläche im Abstand \!\ x:

\!\ A_x  = \pi s^2.

Volumen der Kugel \!\ V:

V = \int_{- r}^r {A_x \,\mathrm dx} = \int_{- r}^r {\pi s^2 \,\mathrm dx}  = \int_{-r}^r {\left( {r^2  - x^2 } \right)} \pi \,\mathrm dx  = \int_{-r}^r \pi {r^2} \,\mathrm dx - \int_{-r}^r \pi {x^2 } \,\mathrm dx
V = \pi r^2 \left[ x \right]_{-r}^r  - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{-r}^r
V = \pi r^2 \left[ r - (-r)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^3-(-r)^3\right] = 2\pi r^3 - {2 \over 3}\pi r^3  = {4 \over 3}\pi r^3.

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments \!\ V_\mathrm{KS} der Höhe \!\ h berechnen:

V_\mathrm{KS} = \int_{r - h}^r {A_x \,\mathrm{d}x} = \pi r^2 \left[x \right]_{r - h}^r - {1 \over 3}\pi \left[ {x^3 } \right]_{r - h}^r
V_\mathrm{KS} = \pi r^2 \left[r - (r - h) \right] - {1 \over 3}\pi \left[r^3 - (r - h)^3 \right] = \pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi \left[r^3 - (r^3 - 3r^2 h + 3r h^2 - h^3) \right]
V_\mathrm{KS} = \pi r^2 h - \pi r^2 h + \pi r h^2 - {1 \over 3}\pi h^3 = {\pi h^2 \over 3} (3r - h).

Weitere Herleitungen

Die Kugel lässt sich durch die Gleichung

K: ~ x^2 + y^2 + z^2 = r^2

beschreiben, wobei \!\ x, \!\ y, \!\ z die Raumkoordinanten sind und \!\ r den Radius darstellt.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel durch

\begin{pmatrix} r ~ \sin\vartheta ~ \cos \varphi \\ r ~ \sin\vartheta ~ \sin\varphi \\ r ~ \cos \vartheta \end{pmatrix} \qquad (0 \leq \vartheta \leq \pi , 0 \leq \varphi \leq 2\pi).

Mit der Funktionaldeterminante

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vartheta,\varphi)} = r^2 \sin\vartheta

ergibt sich das benötigte Volumenelement \!\ \mathrm{d}V als

\mathrm{d}V = r^2 \sin\vartheta\;\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta.

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

\begin{align}
\int_K\mathrm dV &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \sin \vartheta\; \mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\vartheta\\
&= \int_0^R r^2 \mathrm dr \int_0^{2\pi} \mathrm d\varphi \int_0^\pi \sin \vartheta\;\mathrm d\vartheta\\
&= {R^3\over 3}\cdot 2\pi \cdot 2\\
&= \frac{4}{3}\pi R^3.\\
\end{align}

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

\begin{align}
\int_K \!\mathrm dV &= \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}\left(\int\limits_{-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\mathrm dz\right)\mathrm dy\,\mathrm dx\\
&= \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2}2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\mathrm dy\,\mathrm dx.
\end{align}

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration wird nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen \!\varphi und \! r fortgeführt wird, anstatt wie vordem durch \! x und \! y. Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: \mathrm dy \,\mathrm dx\;\xrightarrow{\text{wird zu}}\;r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi (Stichwort: Flächenelement)

\begin{align}
\int_K \!\mathrm dV &= \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2} \;r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\\
&= 2\pi\int\limits_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2}\;r\,\mathrm dr\\
&= 2\pi (-1) \frac{2}{3} \left[\sqrt{(R^2 - r^2)^3}\right]_{r = 0}^R\\
&= \frac{4}{3}\pi R^3.
\end{align}

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

 V = \pi \int_ {a}^b [f(x)]^2\mathrm{d}x = \pi \int_ {a}^b y^2\,\mathrm{d}x.

Die Gleichung für den Kreis ist

 (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 \,=\, r^2

mit Mittelpunkt

 M=\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

 x^2 + y^2 = r^2 \Leftrightarrow y^2 = r^2 - x^2.

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

\begin{align}
V_\mathrm{Kugel} &= \pi \int_{-r}^r \! r^2 - x^2\mathrm{d}x\\
&= \pi \left[r^2x - {1\over3}x^3\right]_{-r}^r\\
&= \pi \left(r^3 - {1\over3}r^3\right) - \pi \left(r^2\cdot(-r) - {1\over3}(-r)^3\right)\\
&= \pi \left[\left({2\over3}r^3\right)-\left(-{2\over3}r^3\right)\right]\\
&= {4\over3}\pi r^3.\\
\end{align}

Oberfläche

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert \!\ r hat.

Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand mit endlicher Fläche und entspricht der Mantelfläche des die Kugel umhüllenden Kreiszylinders.

Begründung

Tangente an Kugel
Kugelansicht

Im Grunde muss nur gezeigt werden, dass \!\ c umgekehrt proportional zu \!\ x ist (\!\ x ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse). Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“ \!\ r und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:

c = \frac{r}{x}\ {d}.

Teilt man nun eine Kugel auf in:

  • Schichten mit einer Höhe von jeweils \!\ d und
  • Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand \!\ d zueinander haben

und lässt man \!\ d nach \!\ 0 streben, so ist

  • die Länge jedes Feldes umgekehrt proportional zu \!\ x – also zu seinem Abstand von der Mittelachse
  • seine Breite hingegen ist proportional zu \!\ x.

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß.

Da alle viereckigen Felder denselben Flächeninhalt haben und dieser am Äquator \!\ {d}^{2} beträgt und es insgesamt \frac{\mathrm{Umfang}}{{d}} \cdot \frac{\mathrm{Durchmesser}}{{d}} = \frac{2 \pi r \cdot 2 r}{d^2} Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: {A} \, = {4} \pi {r^2}.

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius \!\ r. Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel V_P = \tfrac{1}{3}G h gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

V = \frac{1}{3}r O

Wegen V = \tfrac{4}{3} \pi r^3 ergibt sich:

\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3}r O
\!\ O = 4 \pi r^2

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung

Aus der ersten Guldin'schen Regel

O = 2 \pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, \mathrm{d}x

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

\begin{align}
O &= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{\left[ 1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right)^2 \right] } \, \mathrm{d}x\\
&= 2 \pi \int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}} \, \mathrm{d}x \\
&= 2 \pi \int\limits_{-r}^r r \, \mathrm{d}x \\
&= 2 \pi r \int\limits_{-r}^r \, 1 \mathrm{d}x \\
&= 4 \pi r^2
\end{align}

Eigenschaften

Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht in der Ebene ausbreiten.

Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das \tfrac{3}{2}-fache Volumen der Kugel. Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

Nach dem Banach-Tarski-Paradoxon kann eine Kugel in Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von der Größe des Originals zusammensetzen lassen.

Verallgemeinerung

Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl \!\ n eine \!\ n‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des \!\ n‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl \!\ r (dem Radius) ist. Den Rand der \!\ n‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich \!\ r ist, bezeichnet man als (\!\ n−1)‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der \!\ n‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die \!\ n‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine 2‑dimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine 1‑dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von \!\ n‑Sphären, wenn sie (\!\ n−1)‑dimensionale Sphären im \!\ n‑dimensionalen Raum meinen.

Das \!\ n-dimensionale Volumen einer \!\ n-dimensionalen Kugel mit dem Radius \!\ r ist

r^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}.

Hier ist \!\ \Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (\!\ n−1)‑dimensionalen Inhalt der (\!\ n−1)‑dimensionalen Oberfläche, also der (\!\ n−1)‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

n r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} = 2 r^{n-1} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}.

Eine \!\ n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten \!\ n-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

Literatur

  • Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6. 

Quellen & Weblinks


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