Koordinatendarstellung

Die Koordinatenform ist in der Geometrie eine Form der Ebenengleichung im Raum.

Sie sieht folgendermaßen aus:

${E: \ n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=b}$.

Hierbei sind x₁, x₂ und x₃ die Koordinaten im Raum, b ist eine reelle Zahl.

Bei n₁, n₂ und n₃ handelt es sich um die Koordinaten eines zur Ebene gehörenden Normalenvektors $\vec n$. Wenn dieser Vektor normiert ist, also ein Normaleneinheitsvektor ist, dann ist $\left| b \right|$ die Distanz entlang der Normalen zum Ursprung. Die Ebene liegt dann in der Hesseschen Normalform vor.

Mit dieser Ebenengleichung kann man leicht prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, indem man die Koordinaten des Punktes $P(p_1 \vert p_2 \vert p_3)$ in diese Gleichung einsetzt. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf der Ebene, sonst nicht.

Beispiel

Die Ebene ${E: \ 3 x_1+7 x_2- x_3=2}$ besitzt den Normalenvektor $\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Weitere Ebenengleichungen

Weitere Ebenengleichungen sind

• die Parameterform
• die Normalform bzw. die Hessesche Normalform
• die Achsenabschnittsform