Katenoide

Eine durchhängende Kette bildet eine Kettenkurve oder Katenoide.

Eine Katenoide (auch Seilkurve, Kettenlinie oder Kettenkurve, englisch catenary oder funicular curve) ist eine mathematische Kurve, die den Durchhang einer an ihren Enden aufgehängten Kette unter Einfluss der Schwerkraft beschreibt. Es handelt sich um eine elementare mathematische Funktion, den Cosinus Hyperbolicus, kurz cosh.

Mathematische Beschreibung

Bestimmungsstücke der Kettenlinie

Zur Länge eines infinitesimalen Seilstücks

Die Funktion y = a cosh(x/a) für unterschiedliche Werte von a

Die Berechnung der Kettenlinie ist ein klassisches Problem der Variationsrechnung. Man denkt sich ein Seil von gewisser Masse und Länge, das an seinen Enden aufgehängt ist. Die Seilkurve ist das Ergebnis der kleinst möglichen potentiellen Energie des Seils. Das versucht man rechnerisch nachzuvollziehen.

Dazu benötigt man den mathematischen Ausdruck für die potentielle Energie. Er ist eine Verfeinerung des bekannten „Gewicht mal Höhe“ mgh. Die Verfeinerung besteht darin, dass die Energie für „alle Teile“ des Seils getrennt ausgewertet und zum Schluss aufsummiert wird. Das ist notwendig, weil die Teile des Seils sich auf unterschiedlichen Höhen befinden. Die gedankliche Zerlegung des Seils in immer kleinere Teile macht aus der Summe ein Integral. Die Höhe h aus mgh wird durch die gesuchte Funktion y(x) ersetzt, die Masse m durch die Masse dm des Seilstücks über dem Intervall [x,x + dx]; nach Pythagoras ist dies:

$dm = \mu \sqrt{\mathrm (dx)^2+\mathrm (dy)^2} = \mu \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \right)^2} \, \mathrm dx = \mu \sqrt{1+y'^2} \, \mathrm dx$

wobei μ die Masse je Meter ist. Wenn das Seil an den Stellen x₁, x₂ aufgehängt ist, ergibt sich demnach die Energie („Gewicht mal Höhe“) als

$E = \mu g \, \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \; y \, \sqrt{1+y'^2}$

Eine ähnliche Überlegung führt auf den Ausdruck für die Länge des Seils:

$l = \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \sqrt{1+y'^2}$

Die Energie ist zu minimieren, die Länge ist jedoch vorgegeben. Man bringt dies unter einen Hut durch einen Lagrange-Multiplikator μgy₀, das heißt man minimiert nun den Ausdruck

$E \, - \, \mu g y_0 \, l = \mu g\, \int_{x_1}^{x_2} \mathrm dx \, \sqrt{1+y'^2} \, (y \, - y_0)$

Die Variation ergibt die Differentialgleichung (Euler-Lagrange-Gleichung):

$(y-y_0) \, y'' \, - \, y'^2 \, = \, 1$

Interessanterweise sind in diesem Schritt sowohl die Massengröße μ als auch die Schwerebeschleunigung g herausgefallen. Ein schweres Seil nimmt somit dieselbe Form an wie ein leichtes, und auf dem Mond ergibt sich trotz anderer Fallbeschleunigung dieselbe Form wie auf der Erde.

Die Lösungen der Gleichung sind die Funktionen

$y(x) \, = \, a\cdot \cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)+y_0$

Es handelt sich um vergrößerte und verschobene Cosinus-Hyperbolicus-Funktionen. a ist der Krümmungsradius im Scheitelpunkt (siehe Abbildung) und zugleich der Vergrößerungsfaktor. x₀ ist die Verschiebung in x-Richtung, y₀ die Verschiebung in y-Richtung.

Die konkrete Form, die das Seil letztendlich annimmt, errechnet man, indem man x₀, y₀ und a so anpasst, dass die Kurve durch die Aufhängepunkte geht und die vorgegebene Länge l hat.

Beispiel

Als Beispiel sei ein zwischen zwei Pfosten (Abstand w) aufgehängtes Seil der Länge l gegeben (siehe Abbildung oben). Die Pfosten sind gleich hoch und befinden sich bei x = − w / 2 und x = + w / 2, es gilt also x₀ = 0.

Um den Krümmungsradius a zu berechnen, schreiben wir die Seillänge l als Funktion von a:

$l = \int_{-w/2}^{w/2}\sqrt{1+y'^2} \, \mathrm dx = 2a \, \sinh\left(\frac{w}{2a}\right).$

Diese Beziehung legt a in Abhängigkeit von w und l eindeutig fest. Da man keinen geschlossenen Ausdruck für a angeben kann, muss der Wert mit einem numerischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen approximativ berechnet werden.

Zuletzt liest man aus der Abbildung die Bedingung y(w / 2) = 0 ab, aus der man y₀ erhält. Des Weiteren gelten die Beziehungen

$\begin{align} \tfrac{b}{a} &= \cosh\left(\tfrac{w}{2a}\right) \\ b &= h+a \end{align}$

wobei h der "Durchhang" ist.

Die potentielle Energie dieses Systems beträgt

$E = -\frac{\mu g}{2} (l\,b - w\,a)$

Genauer ist dies die Energiedifferenz gegenüber dem Fall, dass sich das Seil komplett auf der Höhe der Aufhängepunkte (y = 0) befindet.

Symmetrisch aufgehängtes Seil mit Umlenkrolle

Mit Hilfe der Energie kann man die Kraft F in den Aufhängepunkten berechnen. Hierzu stellt man sich vor, dass das Seil in einem Aufhängepunkt über eine Umlenkrolle läuft, die die Kraft in horizontale Richtung umlenkt. Um das Seil wie abgebildet um eine sehr kleine Strecke ds hinauszuziehen, muss man die Energie dE = Fds aufwenden. Diese kann man berechnen und erhält so die Kraft F = dE / ds. Zur Berechnung von dE vergleicht man die Energie des ursprünglichen Seils mit der des um ds verkürzten Seiles. Das Ergebnis ist überraschend einfach, nämlich

$F = \mu g b = \mu g (h+a) = \frac{m g}{2} \coth\left(\tfrac{w}{2a}\right)$

Dieselbe Formel kann man auch auf Teilstücke des Seils anwenden. Da die Teilstücke alle denselben Krümmungsradius a haben, aber für kleine Teilstücke (unten im Tal) der Durchhang h vernachlässigbar wird, besteht im Tal des Seiles die Seilspannung μga.

Stellt man die Pfosten nah beisammen, dann dominiert der Durchhang h, der dann recht genau die halbe Seillänge ist. Die Kraft ist dann erwartungsgemäß die halbe Gewichtskraft des Seiles, mg / 2 (man beachte, dass zwei Aufhängepunkte sich die Last teilen).

Die Formel zeigt auch, wie die Kraft bei zunehmender Seilspannung die halbe Gewichtskraft um den Faktor coth(w / 2a) übersteigt. Der Faktor ist praktisch 1 für sehr kleine Krümmungsradien a, aber ungefähr 2a / w oder auch 2a / l für sehr große Krümmungsradien.

Im Alltag beträgt der Faktor etwa 2 bis 4. Im Aufhängepunkt wirkt dann das ganze oder doppelte Gewicht des Seiles.

Beziehungen zu anderen Funktionen

r(x)=cosh(x)-1 (Katenoide), g(x)=x² (Parabel), m(x)=r(x)/g(x), c(x)=g(x)/r(x)

m(0)=1/2, c(0)=2: Der unbestimmte Ausdruck 0/0 ist in diesem Fall 1/2 bzw. 2.
Die vertikale Linie bei x=0 ist ein Fehler des Plotters und nicht Teil des magentafarbenen Graphen.

Parabel

Erst Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens und Johann Bernoulli wiesen 1691 nach, dass sich die Kettenkurve von einer Parabel unterscheidet. Die Parabel stellt sich ein bei einer gleichmäßig über die Spannweite x verteilten Streckenlast, z.B. einer Hängebrücke, bei der das Gewicht der Seile gegenüber dem der Fahrbahn vernachlässigt werden kann. Die Abbildung rechts vergleicht den Kurvenverlauf einer Kettenlinie (rot) mit einer Normalparabel (grün).

Katenoid

Die durch Rotation der Katenoide um die x-Achse erzeugte Rotationsfläche wird als Katenoid bezeichnet und ist eine Minimalfläche.

Traktrix

Die Katenoide ist die Evolute zu der Traktrix (Schleppkurve).

Beispiele

Für a = 100 m und einen Mastabstand w von 200 m (also Spezialfall w / 2 = a) wird ein 2·117,5 m langes Seil benötigt: $l/2=a\cdot\sinh(1)$. Der Durchhang beträgt 54 m. Für ein Stahlseil mit 100 cm² Querschnitt wiegt eine Seilhälfte 9,2 t. Die entsprechende Gewichtskraft von 9·10⁴ N ist die vertikale Kraft an einer Aufhängung. Die horizontale Kraft an einer Aufhängung beträgt 7,7·10⁴ N.

Beträgt a etwa 20,2 % der gesamten Breite w, so ist der Durchhang y(x = w / 2) gleich der Breite w (quadratförmige Gesamtabmessungen). Dieser Fall liegt beispielsweise vor beim Gateway Arch (siehe unten im Abschnitt Architektur), der 630 Fuß breit und ebenso hoch ist. Die exakte Formel

$y = -127{,}7 \; \mathrm{ft} \cdot \cosh({x / 127{,}7 \; \mathrm{ft}}) + 757{,}7 \; \mathrm{ft}$

mit a = 127,7 Fuß und w/2 = 315 Fuß ist im Inneren des Denkmals ausgestellt.

Anwendungen in der Architektur

• Einer der Kettenlinie ähnlichen Stützlinie folgt der scherkräftefreie Bogen des 192 m hohen Gateway Arch in St. Louis. Durch die unterschiedliche Stärke des Bogens liegt jedoch keine echte Katenoide vor.

• Antoni Gaudí nutzte häufiger das darauf fußende Konstruktionsprinzip, unter anderem bei der Sagrada Família in Barcelona.
• Ein weiteres Beispiel ist die nach Plänen von Christopher Wren nach 1666 erbaute Saint Paul’s Cathedral in London^[1]. Zwischen eine äußere und innere hölzerne Halbkugel ließ er ein Katenoid legen, das die Schwere der Laterne aufnahm, aber selbst ein geringeres Baugewicht ermöglichte.
• Die Nubische Tonne, ein Tonnengewölbe, ist eine Variante des Nubischen Gewölbes, einer Gewölbebauweise im Lehmbau ohne Schalung und häufig ohne Lehren, die ihren Namen von traditionellen Bauformen in Nubien hat. Um die größtmögliche Stabilität zu erreichen, folgt die Stützlinie in der Regel der Kettenlinie.

Galerie

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  Sheffield Winter Garden

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  Gateway Arch in St. Louis

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  Casa Milà von Antoni Gaudí

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  Capilano Suspension Bridge

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  Zeichnung von Christiaan Huygens

Siehe auch

• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Herleitung mit Applets
• Gesamtdarstellung des Themas Kettenlinie

 Commons: Catenary – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. ↑ Geschichte der Baustatik von Karl-Eugen Kurrer, Seite 141