Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztendlich auf ein bekanntes (oder einfacher handhabbares) Integral zurückzuführen.

Sei I ein reelles Intervall, $f: I \to \mathbb{R}$ eine stetige Funktion und $\varphi: [a,b] \to I$ stetig differenzierbar. Dann ist

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x .$

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel; entsprechend ist die Produktregel die Grundlage der partiellen Integration. Ihr Äquivalent für mehrdimensionale Integrale ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Beweis

Sei F eine Stammfunktion von f. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion $F \circ \varphi$

$(F \circ \varphi)'(t) = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t).$

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

$\begin{align} \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm dt & {} = (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\ & {} = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\ & {} = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx \end{align}$

Substitution eines bestimmten Integrals

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

$\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x$

für eine beliebige reelle Zahl a > 0: Durch die Substitution $t = \varphi(x) = 2x$ erhält man $\tfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = 2 \Leftrightarrow \mathrm{d}t = 2\,\mathrm{d}x \Leftrightarrow \mathrm{d}x = \tfrac12 {\mathrm{d}t}$ und:

$\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\frac12 {\mathrm{d}t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t$

$= \frac{1}{2} [ -\cos(t) ]_0^{2a} = \frac{1}{2} (-\cos(2a)+\cos(0)) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2a))$.

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

$\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x$:

Durch die Substitution $t = \varphi(x) = x^2 + 1$ erhält man $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$ bzw. $x\,\mathrm{d}x = \tfrac 12 \mathrm dt$ und damit

$\int_{0}^2 x \cos\left(x^2+1\right) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left(\sin(5)-\sin(1)\right).$

Es wird also x² + 1 durch t ersetzt und xdx durch $\tfrac 12 \mathrm dt$. Die untere Grenze des Integrals x = 0 wird dabei in t = 0² + 1 = 1 umgewandelt und die obere Grenze x = 2 in t = 2² + 1 = 5.

Beispiel 3

Berechnung des Integrals

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x$

Man substituiert $x = \sin(t) \Leftrightarrow t = \arcsin(x)$. Daraus ergibt sich $\mathrm{d}x = \cos(t)\, \mathrm{d}t$. Mit $\sqrt{1-\sin^2(t)} = |\cos(t)|$ erhält man

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cos(t)\, \mathrm{d}t = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t)\, \mathrm{d}t\,.$

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos^2(t) = \left(\cos t\right)^2 = \frac{1+\cos(2t)}{2}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Voraussetzungen und Vorgehen

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

$\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm{d}t .$

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel 1

Mit der Substitution x = t − 1, dx = dt erhält man

$\int \frac{1}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t = \arctan t + C = \arctan(x+1) + C$

Beispiel 2

Mit der Substitution t = x², $\mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x$ erhält man

$\int x\, \cos\left(x^2\right)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int 2x \cos\left(x^2\right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \cos(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left(\sin(t) + C'\right) = \frac{1}{2}\sin\left(x^2\right) + C$

Man beachte, dass die Substitution nur für $x\geq 0$ bzw. nur für $x\leq 0$ streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Logarithmische Integration

Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substitutionsmethode darstellt:

$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d}x = \ln|f(x)| + C \quad \left (f(x) \neq 0 \right)$

Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs $\int\sqrt{ax^2+bx+c}\;\mathrm{d}x$ und $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$ elementar integrieren.

Beispiel: $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}$

Durch die Substitution $t-x = \sqrt{x^2+1}$   also   t² − 2tx = 1 ,   $x=\frac{t}2 - \frac1{2t}$,   $t-x=\frac{t}2 + \frac1{2t}$   und   $\mathrm{d}x=\left(\frac12 + \frac1{2t^2}\right)\mathrm{d}t$ ergibt sich:

$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}} = \int\frac{\frac12 + \frac1{2t^2}}{\frac{t}2 + \frac1{2t}}\mathrm{d}t = \int\frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln t = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:

$\int f(mx + n) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{m}F(mx + n) + C \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)$

Für das bestimmte Integral gilt entsprechend

$\int_a^b f(mx + n) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{m}\lbrack F(mx+n) \rbrack_{a}^{b} \qquad \left( \forall~m \neq 0 \right)$

Siehe auch

• Transformationssatz für mehrdimensionale Integrale,
• Partielle Integration für eine weitere wichtige Regel zur Berechnung von Integralen,
• Generalsubstitution für Funktionen, die trigonometrische Funktionen enthalten.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4

Weblinks

• Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel
• Landesbildungsserver BW: Verfahren der linearen Substitution mit ausführlichem Beispiel und Übungen/Lösungen