Identität (Mathematik)

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Als Identität im mathematischen Sinne bezeichnet man üblicherweise Gleichheitsbeziehungen, die für alle möglichen Parameterwerte erfüllt sind; im Gegensatz zu Gleichungen, die im Allgemeinen nur für bestimmte Werte erfüllt sind.

Aufgrund dieser Eigenschaft können Identitäten in einer Gleichheits- oder Ungleichheitsaussage benutzt werden, um einen Term zu ersetzen, ohne die Gültigkeit der Aussage einzuschränken, in der er auftaucht. Idealerweise lassen sich die Lösungen der umgeschriebenen Form leichter finden als die der ursprünglichen Form.

Um eine Identität klar von einer Gleichung zu trennen, heben manche Autoren Identitäten in der Notation durch ein Gleichheitszeichen mit drei Strichen hervor: ≡.

Beispiele

• Die Identität sin ²(x) + cos ²(x) = 1 ist für beliebige komplexe (und reelle) x erfüllt. Im Gegensatz dazu ist z. B. sin(x) = cos(x) eine Gleichung, die nur für bestimmte Werte (Lösungen der Gleichung) von x erfüllt ist, nämlich für $x=\pi/4+n\,\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist.

• $\operatorname{div}\,\operatorname{rot}\,\vec{A} = 0$ und $\operatorname{rot}\,\operatorname{grad}\,\Phi = 0$ sind Identitäten, die für alle Vektorfelder $\vec{A}$ bzw. Skalarfelder Φ erfüllt sind.

• Die Eulersche Identität ist $e^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right)$. Ihr Spezialfall e^iπ + 1 = 0 zeigt einen Zusammenhang zwischen den fundamentalen mathematischen Konstanten auf.

Siehe auch

• Identische Abbildung