Höhenschnittpunkt

Höhenschnittpunkt
Höhenschnittpunkt

Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen, d.h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken. Der Höhenschnittpunkt ist einer der vier klassischen ausgezeichneten Punkte des Dreiecks.

In der Skizze sind die Höhen mit [AHa], [BHb] und [CHc] bezeichnet. Ist das gegebene Dreieck ABC spitzwinklig, so befindet sich der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks. Hat das Dreieck dagegen einen stumpfen Winkel (also einen Winkel über 90°), so liegt H außerhalb. Im rechtwinkligen Fall schließlich stimmt H mit dem Scheitel des rechten Winkels überein.

Inhaltsverzeichnis

Beweis

Dreieck mit Höhen und Parallelen zu den Seiten

Zum Beweis, dass sich alle drei Höhen des Dreiecks ABC in einem Punkt schneiden, zeichnet man die Parallelen zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken, sodass ein größeres Dreieck A'B'C' entsteht. Je zwei der vier Teildreiecke des neuen Dreiecks bilden ein Parallelogramm. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Daher sind die Seiten des neuen Dreiecks doppelt so lang wie die entsprechenden Seiten des ursprünglichen Dreiecks. Die Höhen des ursprünglichen Dreiecks stimmen daher mit den Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen) des neuen Dreiecks überein. Da sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden (→ siehe Umkreis), muss dies auch für die Höhen des Ausgangsdreiecks gelten.

Umgekehrt kann man dem Dreieck A'B'C' das Dreieck ABC als Dreieck seiner Mittelparallelen einbeschreiben. Damit fällt der Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks mit dem Höhenschittpunkt des einbeschriebenen Dreiecks zusammen.

Verallgemeinerung in der synthetischen Geometrie

Die im Beweis mitbewiesene Äquivalenz des Höhenschnittpunktsatzes zum Mittellotensatz, lässt sich in der synthetischen Geometrie auf affine Translationsebenen mit einer Orthogonalitätsrelation verallgemeinern, falls jede Strecke der Ebene eine Mitte hat, d. h. falls die Ebene das affine Fano-Axiom erfüllt. Dann kann aus der Existenz dieser Schnittpunkte für beliebige Dreiecke geschlossen werden, dass die Translationsebene eine pappussche Ebene ist. Insofern wird der Höhenschnittpunktsatz in der synthetischen affinen Geometrie als Axiom behandelt.

Eigenschaften

  • Das Dreieck aus den Fußpunkten Ha, Hb und Hc der Höhen bezeichnet man als das Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks ABC. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks; ist das Dreieck ABC stumpfwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC ein Ankreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.
  • Die Produkte der Höhenabschnitte sind gleich:
\overline{AH} \cdot \overline{HH_{a}}= \overline{BH} \cdot \overline{HH_{b}} = \overline{CH} \cdot \overline{HH_{c}}.
  • Die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte der "oberen Höhenabschnitte" (jeweils zwischen dem Höhenschnittpunkt und einer Ecke) liegen auf dem Feuerbach-Kreis.
  • Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an den drei Seiten des Dreiecks, so liegen die Bildpunkte auf dem Umkreis.

Koordinaten

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks (Orthozentrum, X4)
Trilineare Koordinaten \sec\alpha \, : \, \sec\beta \, : \, \sec\gamma
Baryzentrische Koordinaten \tan\alpha \, : \, \tan\beta \, : \, \tan\gamma

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Orthozentrum — Höhenschnittpunkt Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen, d.h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken. Der Höhenschnittpunkt ist einer der vier klassischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Feuerbachpunkt — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Neunpunktekreis — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Feuerbach — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Feuerbachkreis — Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (das …   Deutsch Wikipedia

  • Ausgezeichnete Punkte im Dreieck — Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (rot) und Höhenschnittpunkt (grün) liegen auf einer Geraden In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier… …   Deutsch Wikipedia

  • Eulersche Gerade — Unter der eulerschen Geraden eines Dreiecks (auch Eulergeraden, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks geht. Außerdem gilt ,… …   Deutsch Wikipedia

  • Fläche des Dreiecks — Ein Dreieck mit üblichen Bezeichnungen und mit Umkreis, Inkreis und Teilen eines Ankreises Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von …   Deutsch Wikipedia

  • Höhe (Geometrie) — Höhen in einem Dreieck: Die Höhen ha und hc verlaufen außerhalb des Dreiecks, da sich bei B ein stumpfer Winkel befindet. Verlängert man die Höhen jeweils über die zugehörigen Lotfußpunkte La und Lc bzw. über den Eckpunkt B hinaus, so schneiden… …   Deutsch Wikipedia

  • Höhenfußpunktdreieck — Das Höhenfußpunktdreieck[1] (seltener: orthisches Dreieck) ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie. Es entsteht dadurch, dass die Fußpunkte der drei Höhen (also die Punkte Ha, Hb und Hc, in denen die Lote von den Ecken des Dreiecks auf die… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”