Hyperbolische Geometrie

Modell einer Parkettierung einer Ebene mit Quadraten. An den Ecken treffen dabei mehr als vier zusammen (je nach Größe, hier fünf).

Die hyperbolische Geometrie als Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das „hyperbolische Axiom“ annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P).

Es lässt sich zeigen, dass es dann durch den Punkt unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) zu der Geraden gibt. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden.

Modelle

Es gibt verschiedene Modelle, wie die hyperbolische Ebene in die euklidische Ebene eingebettet werden kann. Die meisten davon lassen sich für höhere Dimensionen verallgemeinern.

Alle Modelle stellen die gleiche abstrakte hyperbolische Geometrie dar. Es ist daher möglich, zwischen diesen Modellen umzurechnen. Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten Modell unabhängig.

Kleinsches Kreisscheibenmodell

In diesem von Eugenio Beltrami und Felix Klein entwickelten Modell gilt:

• Die hyperbolische Ebene wird durch eine offene Kreisscheibe (oder einen anderen Kegelschnitt) modelliert
• Hyperbolische Geraden werden durch Sehnen modelliert
• Längen werden durch eine spezielle Distanzfunktion definiert (auch die Winkel sind verschieden von den euklidischen Werten)

Distanzfunktion

Abstand zweier Punkte in einer hyperbolischen Geometrie

Sind A und B zwei Punkte der Kreisscheibe, so trifft die durch A und B verlaufende Sehne den Kreis in zwei Punkten R und S. Der hyperbolische Abstand von A und B wird nun mit Hilfe des Doppelverhältnisses (A,B,R,S) definiert:

$d(A,B)=\frac{1}{2} \ln (A,B,R,S) = \frac{1}{2} \ln\frac{\overline{RA}\cdot\overline{SB}}{\overline{RB} \cdot \overline{SA}}$.

Poincarésches Kreisscheibenmodell

Bei dem Kreisscheibenmodell von Henri Poincaré gilt:

• Die hyperbolische Ebene wird durch eine offene Kreisscheibe (meist den Einheitskreis) modelliert
• Hyperbolische Geraden werden durch Kreisbögen (und Durchmesser), die auf dem Rand senkrecht stehen, modelliert
• Die hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt wird
• Die hyperbolische Längenmessung erfolgt durch eine spezielle Distanzfunktion.

Distanzfunktion

Sind A und B zwei Punkte der Kreisscheibe, so trifft die durch A und B verlaufende hyperbolische Gerade (d. h. der Kreisbogen bzw. Durchmesser) den Kreis in zwei Punkten P und Q. Fasst man die Ebene als komplexe Zahlenebene auf, so entsprechen den Punkten A, B, P und Q komplexe Zahlen a, b, p und q. Der hyperbolische Abstand von A und B wird nun mit Hilfe des (komplexen) Doppelverhältnisses (a,b,p,q) dieser komplexen Zahlen definiert:

$d(A,B)= \ln (a,b,p,q) = \ln \frac{(a-q)\cdot (b-p)}{(b-q)\cdot (a-p)}$

Poincarésches Halbebenenmodell

Bei dem Halbebenenmodell von Henri Poincaré gilt:

• Die hyperbolische Ebene wird durch die obere Halbebene (y>0) modelliert
• Hyperbolische Geraden werden durch Kreisbögen (und Halbgeraden), die auf der x-Achse senkrecht stehen, modelliert
• Die hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt wird
• Die hyperbolische Längenmessung erfolgt durch eine spezielle Distanzfunktion

Hyperboloid-Modell

Das Hyperboloidmodell bettet die hyperbolische Ebene in den dreidimensionalen Minkowskiraum ein.

Dreieck

Dreieck im hyperbolischen Raum

In der hyperbolischen Geometrie ist die Winkelsumme in einem Dreieck immer kleiner als π (180 Grad; bzw. zwei Rechte, wenn man das Winkelmaß vermeiden will). Für sehr große Dreiecke kann sie beliebig klein werden. Die Fläche des Dreiecks wird nach Johann Heinrich Lamberts Formel berechnet:

$\pi - ( \alpha + \beta + \gamma ) = C\,\Delta$

Wobei α, β und γ die jeweiligen Winkel, Δ die Fläche und die Konstante C ein Skalierungsfaktor ist. Der Skalierungsfaktor C ist abhängig vom verwendeten Einheitensystem und im Grunde gleich 1 zu setzen. Ist der Faktor C negativ spricht man von einer (positiven) Gaußschen Krümmung. Analog dazu definierte Thomas Hariot zuvor im Jahr 1603 die Formel

$\Delta = R^2 \,(\alpha + \beta + \gamma - \pi)$

für die Fläche eines Dreiecks auf einer Kugeloberfläche, welches von Kreisen mit demselben Radius wie die Kugel gebildet wird. Hiebei gilt der Zusammenhang

$C = -\frac{1}{R^2}$.

Da für die hyperbolische Geometrie ein positiver Wert für C erforderlich ist, muss es sich bei R aufgrund von

$R = (-C)^{-\frac{1}{2}}$

um einen imaginären Radius handeln.

Siehe auch

• Elliptische Geometrie
• Nikolai Lobatschewski
• János Bolyai
• Felix Klein
• Giovanni Girolamo Saccheri

Literatur

• Marvin Jay Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean Geometries: Development and History, W. H. Freeman, 1993, ISBN 978-0-7167-2446-9
• Lobachevsky, Nikolai I., Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk