Hauptraum

Hauptraum

Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

Inhaltsverzeichnis

Definition des Hauptraums

Ist F \colon V \to V eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V in sich selbst, λ ein Eigenwert von F und bezeichnet r die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ, dann nennt man den Kern der r-fachen Hintereinanderausführung von (F − λE) Hauptraum zum Eigenwert λ, d. h.

\operatorname{Hau} (F, \lambda) := \{v \in V \mid (F - \lambda E)^r (v) = 0\}.

Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren v aufgespannt, für die (F − λE)r(v) = 0 gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Unterraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

Hauptvektor

Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei F ein Endomorphismus und λ ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor v heißt Hauptvektor der Stufe p, wenn

(F − λE)pv = 0

aber

(F-\lambda E)^{p-1} v \neq 0

gilt. Die Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

Sei vp − 1 ein Hauptvektor der Stufe p − 1, so kann man einen Hauptvektor der Stufe p berechnen, indem man das lineare Gleichungssystem

(F − λE)vp = vp − 1

löst.

Satz über die Hauptraumzerlegung

Es sei F ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom

\chi_F(t) = \pm \prod_{j=1}^k(t-\lambda_j)^{r_j}

zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen \lambda_1 \ldots \lambda_k \in K. Dann gilt:

  1. Der Hauptraum ist F-invariant, das heißt F\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) \subset \operatorname{Hau}(F,\lambda_i) .
  2. Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also \dim\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) = r_i.
  3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von V. Es gilt also V = \operatorname{Hau}(F,\lambda_1) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Hau}(F,\lambda_k).
  4. Der Endomorphismus F besitzt eine Zerlegung F = FD + FN. Darin ist FD diagonalisierbar, FN ist nilpotent, und es gilt F_D \circ F_N = F_N \circ F_D.

Beispiel

Sei eine Matrix A\in\mathbb{R}^{6\times6} gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:

\det\left(A-\lambda I\right)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-4)^{3}.

Außerdem soll gelten:

\begin{align}
\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{2}=3\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{3}=3\\
\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =1\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{3}=3\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{4}=3
\end{align}

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwert 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform J konstruieren

J=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}

über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix P

P^{-1}AP=J\quad\Longleftrightarrow\quad AP=PJ,

wobei die Spaltenvektoren von P den Hauptvektoren pi entsprechen:

P=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5}& p_{6}\end{bmatrix}

Die Transformation AP=PJ lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:

A\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}J=\begin{bmatrix}2p_{1}&2p_{2} & 2p_{3}+p_{2} & 4p_{4} & 4p_{5}+p_{4} & 4p_{6}+p_{5}\end{bmatrix}

Somit folgt:

\begin{align}
\left(A-2I\right)p_{1} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{2} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{3} & =p_{2}\quad\Rightarrow\quad\left(A-2I\right)^{2}p_{3}=\left(A-2I\right)p_{2}=0\\
\left(A-4I\right)p_{4} & =0\\
\left(A-4I\right)p_{5} & =p_{4}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\\
\left(A-4I\right)p_{6} & =p_{5}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{3}p_{6}=\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0
\end{align}

p1, p2 und p4 sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren), p3 und p5 Hauptvektoren zweiter Stufe und p6 ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen A − λE wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:

\begin{align}
\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{n}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 2 \,,\\
\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =\left\langle p_{4}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=\left\langle p_{4},p_{5}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{n}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 3  \end{align}

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:


\begin{align}
\operatorname{Hau}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)^{2}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \\
\operatorname{Hau}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)^{3}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)=\left\langle p_{4}\right\rangle \end{align}

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also \dim\left(\operatorname{Hau}(A,2)\right) = 3 und \dim\left(\operatorname{Hau}(A,4)\right) = 3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von V=\mathbb{R}^{6}, d.h. V = \operatorname{Hau}(A,2) \oplus \operatorname{Hau}(A,4).

Die Matrix A besitzt eine Zerlegung A = AD + AN, wobei AD diagonalisierbar und AN nilpotent ist: P − 1(AD + AN)P = JD + JN mit

J_{D}=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{bmatrix}
\ ,\quad J_{N}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Hauptraum — Haupt|raum, der: vgl. ↑ Hauptgebäude. * * * Haupt|raum, der: vgl. ↑Hauptgebäude …   Universal-Lexikon

  • Linientreu (Diskothek) — Der Eingang des Linientreu Das Linientreu (vollständig: Tanz Arena Linientreu, umgangssprachlich: Treu) war eine Diskothek in Berlin. Es befand sich in der Budapester Straße direkt gegenüber dem Europa Center unweit des Bahnhofs Zoo. Im… …   Deutsch Wikipedia

  • Exposition Internationale du Surréalisme — Titelseite des Katalogs zur Ausstellung in der Galerie Beaux Arts, Paris 1938 Die Exposition Internationale du Surréalisme war eine Ausstellung von Künstlern des Surrealismus, die vom 17. Januar bis zum 24. Februar des Jahres 1938 in… …   Deutsch Wikipedia

  • Abtei Weltenburg — Kloster Weltenburg mit Blick auf die Donau Blick auf Kloster Weltenburg von der gegenüberliegenden Donauseite Das Kloster Weltenburg ist eine Be …   Deutsch Wikipedia

  • Generalisierter Eigenvektor — Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis. Inhaltsverzeichnis 1… …   Deutsch Wikipedia

  • Hauptvektor — Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis. Inhaltsverzeichnis 1… …   Deutsch Wikipedia

  • Mithräum von Dura Europos — Das Mithräum von Dura Europos wurde 1934 bei den Ausgrabungen in dieser Stadt gefunden. Es gilt als eines der best erhaltenen und best dokumentierten Kultbauten dieser Art. Der Tempel liegt im Nordwesten der Stadt, nahe der Stadtmauer. Es konnten …   Deutsch Wikipedia

  • Sant' Andria Priu — Die einst 20 Domus de Janas (Felsengräber) von Sant Andria Priu (auch Ipogeo S. Andrea Priu genannt) liegen in einer 10 Meter hohen Trachytwand am Südrand der Hochebene von Campeda bei Bonorva in der Provinz Sassari auf Sardinien. Die 15… …   Deutsch Wikipedia

  • Sant’ Andria Priu — Die einst 20 Domus de Janas (Felsengräber) von Sant Andria Priu (auch Ipogeo S. Andrea Priu) liegen in einer 10 Meter hohen Trachytwand am Südrand der Hochebene von Campeda bei Bonorva in der Provinz Sassari auf Sardinien. Die 15 erhaltenen… …   Deutsch Wikipedia

  • Weltenburg — Kloster Weltenburg mit Blick auf die Donau Blick auf Kloster Weltenburg von der gegenüberliegenden Donauseite Das Kloster Weltenburg ist eine …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”